ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಾಕಾರ

ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲಾ ಹಂತದಲ್ಲಿ (6 – 8 ತರಗತಿ) ಮಕ್ಕಳು ಅಗಾಧ ಕಷ್ಟವನ್ನು ಎದುರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೆಂದರೆ (ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವುಳ್ಳವೂ ಹೌದು) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶಗಳು. ಮಕ್ಕಳು, ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಕಷ್ಟ ಎದುರಿಸಿದರೆ, ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ನಡೆಸುವ ಅಂಕಗಣಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಬಹಳಷ್ಟು ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಬೋಧಿಸಲ್ಪಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕೆ ಬೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಒತ್ತು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಭಾಗಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಿದ್ದೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಹಾಯಕಗಳನ್ನು(manipulatives) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೇಗೆ ಈ ನಿಯಮವು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಲಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಆರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಬೇಕಿದೆ. ಭಾಗಾಕಾರಕ್ಕೆ ಎರಡು ಅರ್ಥಗಳಿವೆ: ಒಂದು, ಸಮಾನ ಹಂಚಿಕೆ; ಅಂದರೆ, 12 ÷ 3 ಎಂಬುದು 12 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು 3 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿ ಹಂಚುವ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ ಎಷ್ಟು ವಸ್ತುಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು). ಎರಡನೆಯದು, ಸಮ ಗುಂಪುಗಳನ್ನಾಗಿಸುವುದು (ಪ್ರಮಾಣ): 12 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ 3 ವಸ್ತುಗಳು ದೊರೆಯುವಂತೆ ಹಂಚುವ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 3 ದೊರೆಯುವಂತೆ ಎಷ್ಟು ಗುಂಪುಗಳಾನ್ನಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು).

ಕಾರ್ಡ್ ಬೋರ್ಡ್ ಅಥವಾ ಕಾಗದದಿಂದ ರಚಿಸಿಕೊಂಡ 2 ಹಾಗೂ 3-ಆಯಾಮಗಳ ಸಹಾಯಕಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎರಡರಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಬಳಸಿದರೂ, ಈ ರೀತಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಹಾಗೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶಗಳ 3-ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿ

ದೊಡ್ಡ ಘನ ಅಥವಾ 1 ಪೂರ್ಣ

ಪೂರ್ಣವನ್ನು 10 ಸಮಾನ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೌಕವೂ ಪೂರ್ಣದ \( \frac{1}{10}\) ಅಥವ 0.1 ಆಗಿದೆ

ಪ್ರತಿ ಚೌಕವನ್ನೂ 10 ಸಮಾನ ಕಡ್ಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕಡ್ಡಿಯೂ ಚೌಕದ \(\frac{1}{100}\) ಅಥವಾ 0.01 ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿ ಕಡ್ಡಿಯನ್ನೂ 10 ಸಮಾನ ಪುಟ್ಟ ಘನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪುಟ್ಟ ಘನವೂ \(\frac{1}{1000}\) ಅಥವಾ 0.001 ಆಗಿದೆ.

ದಶಮಾಂಶಗಳ 2 ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿ

ಚೌಕ ಅಥವಾ 1 – ಪೂರ್ಣ

ಚೌಕವನ್ನು 10 ಸಮಾನ ಕಡ್ಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಡ್ಡಿಯೂ ಚೌಕದ \(\frac{1}{10}\) ಅಥವಾ 0.1 ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿ ಕಡ್ಡಿಯನ್ನೂ 10 ಸಮಾನ ಪುಟ್ಟ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪುಟ್ಟ ಚೌಕವೂ \(1{1}{100}\) ಅಥವಾ 0.01 ಆಗಿದೆ.

ಈ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು:

3 ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು 2.034ನ್ನು ಬರೆಯುವುದು.	2 ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು 3.54 ಬರೆಯುವುದು.
1.32 3 ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು 1.32 ಬರೆಯುವುದು.	2 ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು 1.32 ಬರೆಯುವುದು

ನಾವು 3-ಆಯಾಮ ಅಥವಾ 2-ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮ್ಯಾಥಿಗಾನ್ ಪಾಲಿಪ್ಯಾಡ್ (Mathigon Polypad (https://mathigon.org/polypad) ಅನ್ನು ವಾಸ್ತವಪ್ರಾಯ (virtual) ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡರೆ, ಭೌತಿಕ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಡ್ ಬೋರ್ಡ್ ಅಥವಾ ಕಾಗದದಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. 2-ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂದರೆ, 0.0001ರವರೆಗೆ. 10 ಸೆಂಮೀ x 10 ಚೌಕದ ಸೆಂಮೀ ಗ್ರ್ಯಾಫ್ ಹಾಳೆಯನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣದ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗಿನ ಭಾಗಾಕಾರಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ತಯಾರಿಗಳು:

• ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು—ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು.
  ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \(0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\) ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.
  100 ಪುಟ್ಟ ಚೌಕಗಳಿರುವ ಚೌಕವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ 1ನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಪುಟ್ಟ ಚೌಕವೂ 0.01 ಆಗುತ್ತದೆ, (ಚಿತ್ರ 1).
  0.25 ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ 25 ಪುಟ್ಟ ಚೌಕಗಳು: \(25 × 0.01.4\) ಅಂತಹ ನಾಲ್ಕು 0.25 ಗಳು ಚಿತ್ರ 2ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಪೂರ್ಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 0.25 ಅಂದರೆ ಪೂರ್ಣದ (ದೊಡ್ಡ ಚೌಕದ) \(\frac{1}{4}\) ಎಂದಾಯಿತು.

• ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರ: ವಿಶೇಷವಾಗಿ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಹತ್ತರ ಘಾತಗಳು. ಉದಾಹರಣೆ: \(0.34 × 0.002 = \frac{34}{100} x \frac{2}{1000} = 34×2/100×1000 = \frac{68}{100000} = 0.00068\)
• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಾಕಾರ—ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂಬರ್ಥದೊಂದಿಗೆ.
  ಉದಾಹರಣೆ \(\frac{3}{4}\) ÷ \(\frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} \) (ರ ವಿಲೋಮದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರ \(\frac{2}{5} \)) = \(\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} \)

ನಾವೀಗ ದಶಮಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಈ ನಾಲ್ಕು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸೋಣ.

ವಿಧಗಳು/ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು

1. ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ÷ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ = ದಶಮಾಂಶ
2. ದಶಮಾಂಶ ÷ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ = ದಶಮಾಂಶ
3. ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ÷ ದಶಮಾಂಶ
   1. =ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ
   2. = ದಶಮಾಂಶ
4. ದಶಮಾಂಶ ÷ ದಶಮಾಂಶ
   1. =ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ
   2. = ದಶಮಾಂಶ

ಅಂದರೆ, ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳೆರಡೂ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಅಥವಾ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ನಾವು ಮುಂದೆ ಸಾಗಿದಂತೆ ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಭಾಜ್ಯದ ಸ್ವರೂಪವು ಗೌಣ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲಿದ್ದೇವೆ. (ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಭಾಗಾಕಾರದಲ್ಲೂ ಇದೇ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು)

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ÷ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ = ದಶಮಾಂಶ

ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳೆರಡು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
ಭಾಜಕವು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದನ್ನು ನಾವು ಭಾಜ್ಯವು ಸಮವಾಗಿ ಹಂಚಲ್ಪಡಬೇಕಿರುವ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಭಾಗಾಕಾರದ ಸಮಾನ ಹಂಚಿಕೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 12 ÷ 40 ಎಂಬಲ್ಲಿ, 12ನ್ನು 40 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿ ಹಂಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವೀಗ 3-ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಯ ಮೂಲಕ ನೋಡೋಣ.

∴ 12 ÷ 40 = 0.3 (ಚಿತ್ರ 4)

ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೂ ಒಂದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ÷ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ = ದಶಮಾಂಶ

ನಾವು 0.24 ÷ 5 ಎಂಬ ಉದಾಹರಣೆ ನೋಡೋಣ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಭಾಜಕವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರದ ಸಮಾನ ಹಂಚಿಕೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, 0.24ನ್ನು 5 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿ ಹಂಚಬೇಕಿದೆ.

ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಚೌಕಗಳನ್ನು 20 ಕಡ್ಡಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು 5 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿ ಹಂಚಿದರೆ ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 4 ಕಡ್ಡಿಗಳು (0.04) ದೊರೆತು, 4 ಕಡ್ಡಿಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು 5 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಹಂಚಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಉಳಿಯುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 7).

ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ 4 ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು 40 ಪುಟ್ಟ ಘನಗಳಾಗಿಸಿ, ಅವುಗಳನ್ನು 5 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿ ಹಂಚಿದರೆ ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 8 ಪುಟ್ಟ ಘನಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ (0.008) (ಚಿತ್ರ 8).

ಹೀಗಾಗಿ, ಹಂಚಿಕೆಯ ಎರಡೂ ಸುತ್ತುಗಳನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 0.04 + 0.008 = 0.048 ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, 0.24 ÷ 5 = 0.048 ಎಂದಾಯಿತು (ಚಿತ್ರ 9).

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು 0.24ನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ; ಇಲ್ಲಿ ನಾವು 2 ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು 4 ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು 240 ಪುಟ್ಟ ಘನಗಳಾಗಿ (0.001) ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ಅವುಗಳನ್ನು 5 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 48 ಪುಟ್ಟ ಘನಗಳು (0.048) ದೊರೆಯುವಂತೆ, ಸಮವಾಗಿ ಹಂಚುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ 0.24 ÷ 5 = 0.048 ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ÷ ದಶಮಾಂಶ = ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ

ಭಾಜಕವು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತಹ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಭಾಜಕವೊಂದು ದಶಮಾಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಸಮಾನ ಹಂಚಿಕೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿಸುವ (ಪರಿಮಾಣ) ಅರ್ಥವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವೆನಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ ಭಾಜಕದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ದೊರಕುವ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 12 ÷ 0.3 ಎಂಬ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 0.3 ಅಥವಾ 3 ಚೌಕಗಳು (0.1) ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. 12 ಘನಗಳನ್ನು 120 ಚೌಕಗಳನ್ನಾಗಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 3 ಚೌಕಗಳು ದೊರೆತು, 120 ಚೌಕಗಳನ್ನು 120 ÷ 3 = 40 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಹಂಚಬಹುದು (ಚಿತ್ರ10). ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಈ ವಿಧಾನವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ÷ ದಶಮಾಂಶ = ದಶಮಾಂಶ

ಆದರೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಭಾಗಾಕಾರದ ಈ ಅರ್ಥವು ಲೆಕ್ಕ ಬಿಡಿಸಲು ಪರ್ಯಾಪ್ತವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು 11 ÷ 0.4 ಎಂಬ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ನೆರವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

11 ಘನಗಳನ್ನು 110 ಚೌಕಗಳಾಗಿಸಬಹುದು. ನಾವೇನಾದರೂ 110 ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 4 ಚೌಕಗಳು ದೊರೆಯುವಂತೆ ಒಂದಷ್ಟು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹಂಚಿದರೆ, 110 ÷ 4 ಎಂಬ ಲೆಕ್ಕ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 11).

ಆಗ, 110ರಲ್ಲಿ 108 ಚೌಕಗಳನ್ನು 27 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿ ಹಂಚಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, 2 ಚೌಕಗಳು, ಅಂದರೆ, 0.2, ಉಳಿದುಕೊಂಡು, ಅದು ಅತಿ ಪುಟ್ಟದಾದ್ದರಿಂದ (0.2 < 0.4) ಅದನ್ನು ಮತ್ತೂ ಹಂಚಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಬಳಸುತ್ತಿರುವ ಸಹಾಯಕಗಳ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲು ಸಮ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿಸುವ ಭಾಗಾಕಾರದ ಅರ್ಥವು ಸೋಲುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ÷ ದಶಮಾಂಶ = ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ

ನಾವು 0.42 ÷ 0.14 ಎಂಬ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇಲ್ಲಿ 0.42 ನ್ನು (4 ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು 2 ಕಡ್ಡಿಗಳು) ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 0.14 (1 ಚೌಕ ಮತ್ತು 4 ಕಡ್ಡಿಗಳು) ದೊರೆಯುವಂತೆ ಒಂದಿಷ್ಟು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹಂಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ 4 ಚೌಕ ಮತ್ತು 2 ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು ನಾವು 3 ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು 12 ಕಡ್ಡಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ 1 ಚೌಕ ಮತ್ತು 4 ಕಡ್ಡಿಗಳು (0.14) ದೊರೆಯುವಂತೆ 3 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಹಂಚಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 12).
∴ 0.42 ÷ 0.14 = 3

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸಮ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಇಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ÷ ದಶಮಾಂಶ = ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆ

ನಾವೀಗ 0.42 ÷ 1.4 ಎಂಬ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೈಗೆತ್ತಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಿರುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಭಾಗಾಕಾರ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ ನಮಗೆ ಎದುರಾಗುವ ಸಮಸ್ಯಗಳೇನು ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಾವು 3-ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಯ ಬದಲಿಗೆ 2-ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಇಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಬೇಕಿರುವ ಮೊತ್ತವು, ಅಂದರೆ, ಭಾಜ್ಯವು 0.42 ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೂ ಹಂಚಬೇಕಿರುವ ಭಾಜಕ 1.4ಕ್ಕಿಂತಲೂ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು, ಸಹಾಯಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ, ಸಮ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿಸುವ ಅರ್ಥವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವೀಗ 2.03 ÷ 0.5 ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಜ್ಯ 2.03 ಭಾಜಕ 0.5ಕ್ಕಿಂತಲೂ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭಾಗಾಕಾರ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 14). ಏಕೆಂದರೆ, 0.03 ಅತಿ ಸಣ್ಣದಾಗಿರುವುದರಿಂದ (0.03 < 1.4) ಅದನ್ನು ಹಂಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸಮ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿಸುವ ಅರ್ಥವು ಕೈಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ವಿಧಾನದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.000042 ÷ 0.000014 ಎಂಬ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಸಹಾಯಕಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಆಗುವುದಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಇದನ್ನು 0.00001 ಮತ್ತು 0.000001ಗಳು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅತಿ ಪುಟ್ಟ ಘನಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಸಮ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ತೊಡಗಿದಾಗಲೇ ನಮಗೆ ಈ ಸ್ಪಷ್ಟತೆ ಗೋಚರವಾದದ್ದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಭಾಜಕವು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಸಮಾನ ಹಂಚಿಕೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ, ಸಮ ಗುಂಪುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವುದು ಅಂತಹ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದರಲ್ಲಿ ನೆರವಾಗಬಲ್ಲದು. ಆದರೆ, ಭಾಜಕವಾಗಲೀ, ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಲೀ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಅಂತಹ ಭಾಗಾಕಾರದ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದೆಂತು? ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿರುವ ಈ ಎರಡು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದಾಗಿದೆ:

1. ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ÷ ದಶಮಾಂಶ = ದಶಮಾಂಶ
2. ದಶಮಾಂಶ ÷ ದಶಮಾಂಶ = ದಶಮಾಂಶ

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿರುವ “ಚಾಕೋಲೇಟ್ ತಟ್ಟೆ ಮಾದರಿ”ಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ (ಹಾಗೂ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ) ನಡೆಯುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಭಾಗಾಕಾರಗಳ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿ ವಿಶದೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

* ಚಾಕೋಲೇಟ್ ತಟ್ಟೆ ಮಾದರಿ: \(p\) ÷ \(q\) ಎಂಬಲ್ಲಿ, \(p\) ಎಂಬುದು \(q\) ತಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಂಚಬೇಕಿರುವ ಚಾಕೋಲೇಟ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿರಲಿ. ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಆಗ ಒಂದು ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿನ ಚಾಕೋಲೇಟ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. \(p\) ಮತ್ತು \(q\)ಗಳೆರಡೂ ಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಏಕಾಂಶ, ಸಮ ಅಥವಾ ವಿಷಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿರಬಹುದು.

ನಾವೀಗ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಈ ಮೂವರಲ್ಲೂ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಕಾರದ ಎರಡೂ ಅರ್ಥಗಳೂ ವಿಫಲವಾಗಿದ್ದವು.

1. \(11\) ÷ \(0.4\),
2. \(0.42\) ÷ \(1.4\) ಮತ್ತು
3. \(2.03\) ÷ \(0.5\).

1. \(11\) ÷ \(0.4 = 11\) ÷ \(\frac{4}{10} = 11 \times \frac{10}{4} = \frac{11 \times 10}{4} = 110\) ÷ \(4\)

ನಾವು ಸಮ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನನುಸರಿಸಿ ಇದೇ ಉತ್ತರ ಪಡೆದಿದ್ದೆವಾದರೂ, ಅಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತಿದ್ದುದರಿಂದ ಅದೊಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕಿತ್ತು. ಆದರೆ, ಇಲ್ಲಿ ಆ ರೀತಿಯ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ, ನಾವು ಆ ಅರ್ಥವನ್ನೇ ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತಿಲ್ಲ. ಈಗ ನಾವು ಸಮಾನ ಹಂಚಿಕೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು \(110\) ÷ \(4\) ಎಂಬ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಜೊತೆಗೆ, \(110\) ÷ \(4 = (11 × 10)\) ÷ \((0.4 × 10)\) ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂದರೆ, ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳೆರಡನ್ನೂ 10ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿಕೊಂಡು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, ಭಾಜಕವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

2. \(0.42\) ÷ \(1.4 = \frac{42}{100}\) ÷ \(\frac{14}{10} = \frac{42}{100} \times \frac{10}{14} = \frac{42}{140} = 4.2\) ÷ \(14\)

ನಾವೇನಾದರೂ ಕೇವಲ ಭಾಜಕವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದೆವಾದರೆ, ಆಗಲೂ ನಾವು ಇದೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ತಲುಪುತ್ತೇವೆ; ಏಕೆಂದರೆ,

\(0.42\) ÷\( \frac{14}{10} = 0.42 \times \frac{10}{14} = \frac{0.42 \times 10}{140} = 4.2\) ÷\(14 = (0.42 \times 10)\) ÷ \((1.4 \times 10)\)

ಈ ಎರಡೂ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳೆರಡನ್ನೂ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಹತ್ತರ ಅದೇ ಘಾತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸರಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಭಾಜಕವು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡುತ್ತದೆ.

3. \(2.03\) ÷ \(0.5 = 2.03\) ÷\( \frac{5}{10} = 2.03 \times \frac{10}{5} = \frac{2.03 \times 10}{5} = 20.3\) ÷ \(5\) \(= (2.03 \times 10)\)÷\((0.5 \times 10),\)ಅಂದರೆ, ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳೆರಡನ್ನೂ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿಕೊಂಡು, ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸರಿಸಿ, ಭಾಜಕವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ದಶಮಾಂಶಗಳ ಭಾಗಾಕಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ವಿವರಣೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಇದನ್ನೇ ನಾವು ಮಾಡುವುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ದಶಮಾಂಶ ಭಾಜಕಗಳಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಭಾಗಾಕಾರಗಳಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಕೆಯಾಗುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ, (i) ಛೇದವು ಹತ್ತರ ಘಾತವಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನಾಗಿ ಭಾಜಕವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದು; (ii) ಬಳಿಕ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು “ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸು”ವುದನ್ನು “ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಗುಣಿಸು”ವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಭಾಜ್ಯವು ಹತ್ತರ ಘಾತದಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ಹತ್ತರ ಘಾತವು ದಶಮಾಂಶ ಭಾಜಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವಾಗಿದೆ; ಹಾಗೂ, ಈ ಗುಣಲಬ್ಧವು ನೂತನ ಭಾಜ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನೂತನ ಭಾಜಕವು ಮೂಲ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಜಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ದಶಮಾಂಶ ಭಾಜಕ \((DD)\) = ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ / 10ರ ಘಾತ = \(N/10^m\)
ಮೂಲ ಭಾಜ್ಯ \((OD) \div DD = OD \div N/10^m\) = \((OD × 10^m) \div N\)

\(3.006 ÷ 0.15\) ಎಂಬ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಇಲ್ಲಿ, \(DD = 0.15 = \text{15/100}\) , ಅಂದರೆ \(N = 15\) ಹಾಗೂ \(m = 2\), ಆಗಿ \(OD = 3.006.\) ಹೀಗಾಗಿ, \(3.06 \div 0.15 = 3.006 \div\) \(15/10^2 = (3.006 × 102) \div 15 = 300.6 \div 15.\)

ಇಲ್ಲಿ ಭಾಜಕವನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿಸಿದರಷ್ಟೆ ಸಾಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಿಕೊಂಡ ಬಳಿಕ ನಾವು ಸಮಾನ ಹಂಚಿಕೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಭಾಜ್ಯವು ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆಯೋ, ಇಲ್ಲವೋ ಎಂಬುದು ಗೌಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಚರ್ಚೆಯು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಾವು ಆವರ್ತವಾಗುವ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿಯೇ ಕೈಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ. ಸದ್ಯದ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅವು ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಣದ ಹಂತದವರೆಗೂ ಕಂಡುಬರದೇ ಇರುವ ಕಾರಣದಿಂದ ಹೀಗೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆವರ್ತವಾಗುವ ದಶಮಾಂಶಗಳು ನಮ್ಮ ಚರ್ಚೆಗೆ ಅಷ್ಟೊಂದು ಪ್ರಸ್ತುತವಲ್ಲವೆಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೂ, ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಒಂದು ಆವರ್ತವಾಗುವ ದಶಮಾಂಶವಾದಾಗಲೂ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಇದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.