ಮುರಿದ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಜಾವೆಲಿನ್ ಎಸೆತವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು

ಸಮಸ್ಯೆ

ಶಾಲೆಯ ಕ್ರೀಡಾಕೂಟದ ಒಂದು ದಿನ ಮುರಿದ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕ್ರೀಡಾ ಶಿಕ್ಷಕರು ಗಮನಿಸಿದರು. ಇನ್ನು ಮೂವತ್ತು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಜಾವೆಲಿನ್ ಎಸತದ ಸ್ಪರ್ಧೆಯು ಪ್ರಾರಂಭಗೊಳ್ಳಲಿದ್ದು ಹೊಸ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ತರಲು ಸಮಯವಿರಲಿಲ್ಲ. ಎಸೆಯುವ ಕಂಸವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಜಾವೆಲಿನ್ ಎಸೆದು, ಅದು ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ಅವರು ಅಳೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ (Figure 1). ಸಮಸ್ಯೆ ಏನಂದರೆ ಮುರಿದ ಪಟ್ಟಿಯು 12 ಮೀಟರ್ ತನಕ ಮಾತ್ರ ಉದ್ದ ಅಳೆಯಬಹುದು ಆದರೆ ಜಾವೆಲಿನ್ ಎಸೆತಗಳು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ 10 ರಿಂದ 60 ಮೀಟರ್ ಗಳಷ್ಟು ದೂರ ಮುಟ್ಟುತ್ತವೆ.

ಅವರು ಒಂದು ಹಗ್ಗವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಬಿಂದು O ನಿಂದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ 10 ಮೀಟರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುವ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಂಸಗಳನ್ನು ಬರೆದು ಮೈದಾನದ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತಾರೆ (Figure 2). ಹೀಗೆ ಮಾಡಿದರೆ ಜಾವೆಲಿನ್ ಬಿದ್ದ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಹತ್ತಿರದ ಕಂಸದವರೆಗಷ್ಟೇ ಅಳೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಆಲೋಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಅಳವಡಿಸಿದ ವಿನ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಪಂದ್ಯವು ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ದಿನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನ ಗಳಿಸಿದ ಸ್ಪರ್ಧಿಯು ಶಿಕ್ಷಕಿಯು ಅನುಸರಿಸಿದ ವಿಧಾನವು ನ್ಯಾಯೋಚಿತವೇ ಎಂದು ಪ್ರಶ್ನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಹತ್ತಿರದ ಕಂಸದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ: ಕ್ರೀಡಾ ಶಿಕ್ಷಕರು ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ವಿಧಾನವು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರ ಪರವಾಗಿ ನೀವು ಕಂಸದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ಹಾಗೂ ಅದು ನ್ಯಾಯಪರ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

ಒಂದು ಪರಿಹಾರ:

\(A\) ಯು (ಜಾವೆಲಿನ್) ನೆಲ ಮುಟ್ಟಿದ ಬಿಂದು/ಸ್ಥಳ, \(α\) ವು \(A\) ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಂಸ ಮತ್ತು \(O\) ವು \(α\) ದ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು ಆಗಿರಲಿ. ಅಳತೆಯು ನ್ಯಾಯಬದ್ದವಾಗಿರಲು, ಅಳತೆ ಪಟ್ಟಿಯು \(A\) ಮತ್ತು \(O\) ಅನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ರೇಖೆಗೆ ಸರಿಹೊಂದಬೇಕು/ ಸಮರೇಖೆಯಾಗಿರಬೇಕು. \(C\) ಯು ರೇಖೆ \(AO\) ಮತ್ತು ವೃತ್ತ ಕಂಸ \(α\) ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದು ಆಗಿರಲಿ. ತೀರ್ಪುಗಾರ್ತಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವರಿಸುತ್ತಿರುವ ಕ್ರೀಡಾ ಶಿಕ್ಷಕಿಯು \(α\) ಮೇಲಿನ ಸರಿಯಾದ ಸ್ಥಳವಾದ ಬಿಂದು \(C\) ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದನ್ನು ತೀರ್ಪುಗಾರ್ತಿಯು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯದ್ದಿದರೆ, ಅಳತೆಯು ನ್ಯಾಯಬದ್ಧವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಹಾಗಾಗಿ ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನ ಗಳಿಸಿದ ಸ್ಪರ್ಧಿಯ ಎತ್ತಿದ ವಿಷಯವು ನ್ಯಾಯವೇ. ಬಿಂದು \(C\) ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ತೀರ್ಪುಗಾರ್ತಿಯು ಹೀಗೆ ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು?

ನಾವು \(α\) ಮೇಲೆ ಇನ್ನ್ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು \(B\) ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ತ್ರಿಭುಜ ಅಸಮತೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಮಗೆ \(OB + BA > OC + CA = OA\) ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ಹಾಗೇ \(B\) ದ ಮೇಲೆ \(\alpha\) \(C\) ಅಲ್ಲದೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, \(A\) ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು ಮತ್ತು \(AB\) ಅನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನಾಗಿರಿಸಿ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಂಸ \(β\) ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈಗ \(\beta\) ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ \(\alpha\) ಮೊದಲ ಬಿಂದು \(B\) ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದು \(D\) ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ (\(B\) ಮತ್ತು \(C\) ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಹೀಗೆ ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?)

ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಉತ್ಪ್ರೇಕ್ಷಿಸಿದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. \(B\) ಮತ್ತು \(D\) ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯು \(O\) ಮತ್ತು \(A\) ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಿಂದು \(M\) ಅಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.. ಆಗ \(BOA\) ಮತ್ತು \(DOA\) ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಬಾ. ಬಾ. ಬಾ. ಇಂದ). ಹಾಗಾಗಿ \(∠BOA\) = \(∠DOA\), ಮತ್ತು ಇದರಿಂದಾಗಿ \(BOM\) ಮತ್ತು \(DOM\) ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಬಾ. ಕೋ. ಬಾ. ಇಂದ). ಇದು \(∠OMB\) = \(∠OMD\) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಅವನ್ನು ಲಂಬಕೋನಗಳೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗಿ \(BD\) ಮತ್ತು \(OA\) ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿವೆ.

ಹಾಗಾಗಿ ತೀರ್ಪುಗಾರ್ತಿಯು ವೃತ್ತಾಕಾರ ಕಂಸ \(α\)ದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು \(B\) ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅವರು ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಲಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳ್ಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ \(BD\)ಯ ಲಂಬಾರ್ಧಕವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ \(∠BAD\) ರ ಕೋನಾರ್ಧಕ). ಅರ್ಧಕವು ಕಂಸ \(α\) ವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವೇ/ಸ್ಥಳವೇ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಬಿಂದು \(C\).

ಕೃತಜ್ಞತೆ

ಅಜೀಂ ಪ್ರೇಮ್‌ಜಿ ಶಾಲೆ ಧಮತರಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರಾದ ಸುಯಶ್ ತಿವಾರಿ ಇವರಿಗೆ ಅಟ್‌ ರೈಟ್‌ ಆ್ಯಂಗಲ್ಸ್ ಆಭಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಇವರು ಜಾವೆಲಿನ್ ಎಸೆತಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆದ ಲೇಖನವು ಈ ಲೇಖನದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಫುರಿಸಿತು.