6 क्यों? चतुष्‍फलकीय संख्याओं को चतुष्‍फलक से जोड़ना

त्रिकोणीय संख्या (Triangular numbers) नाम इसलिए पड़ा, क्योंकि किसी भी त्रिकोणीय संख्या जिसमें वृत्तों के समूह को एक समबाहु त्रिभुज के आकार में जमाया जा सकता है, जैसा कि चित्र-1 में दिखाया गया है।

त्रिकोणीय संख्याएँ हैं 1, 3, 6, 10, 15, 21,… पहली त्रिकोणीय संख्या है 1, दूसरे चरण में हम इसमें 2 और वृत्त जोड़ते हैं, तीसरे चरण में हम 3 और वृत्त जोड़ते हैं, इस प्रकार सामान्यतया चरण क्रमांक \(n\) पर हम \(n\) वृत्त और जोड़ते हैं। इस तरह हम त्रिकोणीय संख्याएँ बनाते हैं। पर अगर हमें दसवीं त्रिकोणीय संख्या पता करनी है तो हमें नौवीं त्रिकोणीय संख्‍या ज्ञात होना ज़रूरी है। पिछली संख्‍या जाने बिना n वीं (nth) त्रिकोणीय संख्या ज्ञात करने के लिए हमें एक सामान्य सूत्र की ज़रूरत है। \(n\) वीं त्रिकोणीय संख्या के लिए सामान्य सूत्र \(T_n = n (n+1)/2\) है। (उदाहरण के लिए, \(T_9 =9(10)/2 = 45\))। \(n\) और \(n + 1\) भुजाओं वाले एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र का एक अच्छा ज्यामितीय निरूपण है। चित्र-2 देखें। चूँकि \(n (n+1)/2 = (n^2+n)/2\) है, \(n\) वीं त्रिकोणीय संख्या \(n\) और \(n^2\) की औसत भी है।

जिस प्रकार त्रिकोणीय संख्याओं को त्रिभुज के आकार में व्यवस्थित वृत्तों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उसी प्रकार चतुष्फलकीय (tetrahedral) संख्याओं को चतुष्फलक (tetrahedron) – एक त्रिभुजीय आधार वाले पिरामिड – के रूप में देखा जा सकता है, जैसा कि चित्र-3 में दिखाया गया है। हम गोलों को एक के ऊपर एक रखकर चतुष्फलकीय संख्या बनाते हैं, जिसकी प्रत्येक सतह में गोलों की संख्या त्रिकोणीय संख्या होती है। चित्र-3 में पहली तीन त्रिकोणीय संख्याओं का योग दिखाया गया है, 1 + 3 + 6 = 10, तीसरी चतुष्फलकीय संख्या।

शुरुआती चतुष्फलकीय संख्याएँ 1, 4, 10, 20, 35, 56,… हैं। हालाँकि मॉडल गोलों की कुल संख्या को चतुष्फलकीय संख्याएँ कहने के लिए प्रेरित करता है। यह त्रिकोणीय संख्याओं और चतुष्फलकीय संख्याओं के बीच के सम्‍बन्‍ध का एक अच्छा दृश्य निरूपण (visual representation) है, लेकिन यह हमें \(n\) वीं चतुष्फलकीय संख्या पता करने में मदद नहीं करता है जब तक कि हमें इससे ठीक पहले वाली संख्‍या पता न हो। त्रिकोणीय संख्याओं की तरह, \(n\) वीं चतुष्फलकीय संख्या के लिए हमें एक सामान्य सूत्र चाहिए। \(n\) वीं चतुष्फलकीय संख्या पता करने के लिए यह सूत्र \(T_n = n (n+1)(n+2)/6\) है। (उदाहरण के लिए, \(T_5 = 5(6)(7)/6 = 35\) )। क्या यह अच्छा नहीं होगा अगर हम इस सूत्र को चतुष्फलक का इस्‍तेमाल करके ज्यामितीय रूप से चित्रित कर सकें?

चतुष्फलकीय संख्याएँ बताने वाले सूत्र का अंश तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होता है, जो दरअसल एक ऐसे आयताकार ठोस का आयतन (लम्‍बाई × चौड़ाई × ऊँचाई) भी होता है जिसकी भुजाएँ तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक होते हैं। इस प्रकार, ऐसे आयताकार ठोस के आयतन का \(1/6\) वाँ भाग हमेशा एक चतुष्फलकीय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, \(3 × 4 × 5\) भुजाओं वाले एक आयताकार ठोस का आयतन \(60\) होगा, इसलिए तीसरी चतुष्फलकीय संख्या \(60/6 = 10\) होगी। चित्र-4 में \(10\) घनों के \(6\) सेट दिखाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक सेट के लिए एक अलग रंग है। ये \(6\) सेट एक साथ मिलकर \(3 × 4 × 5\) भुजाओं वाला एक आयताकार ठोस बनाते हैं। यह ज़रूरी नहीं है कि एक सेट में घन जुड़े हुए हों या फिर एक रंग के घन एक साथ रहें (घन ठोस में कहीं भी हो सकते हैं), लेकिन यह विन्यास त्रिकोणीय संख्या \(1, 3\) और \(6\) को अच्छी तरह से प्रकट करता है जिसका इस्‍तेमाल चतुष्फलकीय संख्या \(10\) को बनाने के लिए किया जाता है। चित्र-5 में एक वैकल्पिक मॉडल दिखाया गया है, जो कि अज़ीम प्रेमजी विश्वविद्यालय के मैथ स्पेस की स्वाती सरकार द्वारा सुझाया गया है।

चित्र-5 : स्वाती का मॉडल

यह मॉडल सूत्र से शुरू होता है और मॉडल को सूत्र में फिट करता है, इसलिए यह विधि इस सवाल का जवाब नहीं देती है, कि “6 क्यों?”

अब हम अपना ध्यान चतुष्फलक के इस्‍तेमाल से इस पद को ज्यामितीय रूप से चित्रित करने की सम्‍भावना पर केन्द्रित करते हैं। हमें यह स्पष्ट रहना चाहिए कि यह \(n\) वीं चतुष्फलकीय संख्या के लिए सूत्र विकसित करने की कोशिश नहीं है, बल्कि चतुष्फलक में सूत्र को देखने का एक तरीक़ा दर्शाने के लिए है, और विशेष रूप से सूत्र में संख्या \(6\) को ध्यान में रखना है। हम फिर से देखते हैं कि \(n\) वीं चतुष्फलकीय संख्या पहली \(n\) त्रिकोणीय संख्याओं का योग है। उदाहरण के लिए, पहली पाँच त्रिकोणीय संख्याओं, \(1 + 3 + 6 + 10 + 15\) का योग \(35\) है, जो पाँचवीं टेट्राहेड्रल संख्या है।

चतुष्फलक के आयतन का सूत्र \(Bh/3\) है, जहाँ \(B\) आधार का क्षेत्रफल है और \(h \) ऊँचाई है। अगर चतुष्फलक का आधार समकोण त्रिभुजाकार है, जिसकी भुजाएँ \(n\) और \(n+1\) हैं तो आधार का क्षेत्रफल \(n (n +1)/2\) होगा, जो एक त्रिकोणीय संख्या है। यदि चतुष्फलक की ऊँचाई \(n +2\) है, तो चतुष्फलक का आयतन \([(n (n +1)/2) (n+2)]/3)\) या \(n (n+1)(n+2)/6\) होगा।

चित्र-6 देखें। इस प्रकार, जब n वीं चतुष्फलकीय संख्या पता करने के लिए कहा जाता है, तो हम सिर्फ़ चतुष्फलक के आयतन की गणना कर रहे होते हैं। उदाहरण के लिए, पाँचवीं चतुष्फलकीय संख्या \(Bh/3 = [[(5)(6)/2])7]/3 = 35\) है।

अब हम जवाब दे सकते हैं, “6 क्यों?” हमारे पास त्रिभुजाकार आधार के क्षेत्रफल के सूत्र से 2 विभाजक है और चतुष्फलक के आयतन के सूत्र से 3 विभाजक है और इसलिए विभाजक 6 है।

हम एक आख़‍िरी विचार के साथ निष्कर्ष पर पहुँचते हैं। दुनिया के कुछ हिस्सों में एक लोकप्रिय गीत है “क्रिसमस के बारह दिन (The Twelve Days of Christmas)”, जिसके पहले तीन छन्‍द हैं :

यह क्रम कुल 12 दिनों तक जारी रहता है। हर दिन मिले उपहारों की संख्या एक त्रिकोणीय संख्या है। इस तरह उपहारों की कुल संख्या बारहवीं चतुष्फलकीय संख्या है, जो पहली 12 त्रिकोणीय संख्याओं का योग है, यानी \(364\)। ये गीत और गीत के बोल आसानी से कहीं भी मिल जाएँगे, और ये समस्या से बख़ूबी परिचय करवाते हैं।