DADS नियम!

हम एक 10 × 10 के ग्रिड में क्रमानुसार लिखी गिनती से शुरुआत करते हैं और 11 के गुणज को रंग करते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, वे एक विकर्ण (diagonally) में होते हैं और 100 तक की संख्‍या में अंक दोहराए जाते हैं।

जब हम 11 के उन गुणजों को देखते हैं, जो 100 से अधिक हैं, तो अंकों को दोहराए जाने वाला पैटर्न बदल जाता है। कोई और सामान्य पैटर्न खोजने के लिए, इसी 10 × 10 ग्रिड में रंगीन विकर्ण के समानान्‍तर किसी भी अन्य विकर्ण को देखें। उदाहरण के लिए, यदि हम 3 से शुरू होने वाले विकर्ण को लें, तो हमें 3, 14, 25, 36, 47, 58, 69, 80 संख्याएँ मिलेंगी। थोड़ा ध्‍यान से देखने पर हम पल भर में ही यह जान जाते हैं कि हर संख्‍या में इकाई के अंक और दहाई के अंक के अन्‍तर में एक पैटर्न है, सिर्फ़ इस विकर्ण की अन्तिम संख्‍या के अन्‍तर (जो कि −8 है) को छोड़कर, अन्‍य सभी संख्‍याओं के इकाई और दहाई में 3 का एक नियत अन्‍तर है। इसी तरह यदि हम 2 से शुरू होने वाले विकर्ण को देखते हैं, तो हमें अन्‍तर क्रमशः 2 और −9 मिलता है। हम यह देख सकते हैं कि किसी भी विकर्ण के लिए अंकों के अन्‍तर के रूप में हमें जो पूर्णांक प्राप्‍त होते हैं वे एक-दूसरे से 11 के अन्‍तर पर होते हैं। अब 11 के गुणजों वाले विकर्ण की हरेक संख्‍या में इकाई और दहाई के अंकों के अन्‍तर पर ध्यान दें; हम पाते हैं कि 100 से कम वाले 11 के सभी गुणजों के लिए यह अन्‍तर शून्य है।

अब हम 3-अंकीय संख्याओं पर एक नज़र डालते हैं। जिसमें हमें 11 के गुणज 110, 121, 132, 143 . . . . मिलते हैं। दिलचस्प बात यह है कि 209 तक पहुँचने तक, इकाई के अंक और सैकड़े के अंक के योग में से दहाई के अंक को घटाने पर परिणाम 0 आता है। 209 पर यह अन्‍तर 11 हो जाता है। ऐसा लगता है कि अब केवल 11 के गुणजों पर ध्यान केन्द्रित करने का समय है। ऐसा करने के लिए, हम 11 के गुणजों की इन पंक्तियों को बनाने के लिए किसी भी स्प्रेडशीट (हमने एक्सेल का उपयोग किया है) के उपयोग की सलाह देते हैं। यदि आवश्यक हो, तो शिक्षक कक्षा में इनका प्रिंटआउट ला सकते हैं। जिसमें विद्यार्थी पैटर्न को देख सकते हैं और उन संख्याओं में रंग भर सकते हैं जिनमें (U + H) – T = 11 है।

चित्र-2 को देखें। यहाँ हमें 209, 308, 407 . . . 902 का एक दिलचस्प त्रिभुज मिलता है जो एकान्‍तर (alternate) अंकों के योग का अन्‍तर 11 देता है, जबकि 11 का हर दूसरा गुणज एकान्‍तर अंकों के योग के अन्‍तर के रूप में शून्य देता है।

11 के 4-अंकीय गुणजों के बारे में आप क्या सोचते हैं? चित्र-3 देखें। हम देखते हैं कि (U + H) – (T + Th) = 0 या 11 या -11 है। इस बिन्‍दु पर, हमने इस अन्‍तर को DADS (Difference of Alternate Digit Sums यानी एकान्‍तर अंकों के योग का अन्‍तर) नाम देने का निर्णय लिया। यह देखना दिलचस्प है कि कैसे DADS 11 वाले त्रिभुज बड़े त्रिभुजों के रूप में शुरू होते हैं लेकिन फिर सिमटकर केवल एक संख्या 7909 तक रह जाते हैं। इसी तरह, DADS -11 वाली संख्याएँ शुरू में समान विन्‍यास के त्रिभुज के रूप में दिखाई देती हैं, लेकिन फिर उनका विन्‍यास बदलता है और लगता है कि वे ग्रिड के अन्तिम छोर तक फैलती हैं।

क्या होगा यदि हम किसी बेहतर पैटर्न की खोज में कॉलम की संख्या बदल दें? हमने 9 कॉलम का उपयोग करने की कोशिश की, यानी पहली पंक्ति 11 . . . 99, दूसरी पंक्ति 110 . . . 198 आदि। तुरन्‍त ही, हमें त्रिभुज का एक स्पष्ट पैटर्न दिखने लगा। चित्र-4 देखें। DADS 11 वाले त्रिभुज सिकुड़ते हैं और DADS -11 वालों के लिए जगह बनाते हैं, जो तब तक बढ़ते हैं जब तक कि वे लगभग पूरी पंक्तियों को कवर न कर लें।

इस बिन्‍दु पर, हम वर्णनात्मक तरीक़े से हटकर ‘लो फ्लोर हाई सीलिंग’ (Low Floor High Ceiling) पैटर्न पर आधारित कुछ प्रश्न पूछना चाहेंगे।

खोज-बीन के लिए प्रश्न :

1. क्या ऐसी संख्याएँ हैं जिनका DADS 22 के बराबर है?
2. वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जिसका DADS 22 के बराबर है?
3. क्या ऐसी संख्याएँ हैं जिनका DADS −22 के बराबर है? वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जिसका DADS −22 के बराबर है?
4. वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी होगी जिसका DADS \(11n\) के बराबर हो? इस संख्या में कितने अंक होंगे?
5. \(n\) के किसी दिए गए मान के लिए, \(11n\) के बराबर DADS वाली सबसे छोटी संख्या के अंकों की संख्या के लिए एक सामान्य सूत्र खोजें।
6. क्या 11 के सभी गुणजों के लिए, DADS हमेशा 11 का एक गुणज होगा?

शिक्षकों के लिए नोट्स :

1. विद्यार्थी DADS 22 वाली संख्या प्राप्त करने के लिए 1010101010101010101010101010101010101010101 के रूप में संख्याएँ बना सकते हैं। यहाँ से, वे जल्द ही संख्या को छोटा करके 2020202020202020202020 करना शुरू कर देंगे और यह देखेंगे कि क्या वे इससे भी छोटी संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।
2. यह विद्या‍र्थियों के लिए इस खोज-बीन में व्यवस्थित रूप से आगे बढ़ने का एक अच्छा अवसर है। चरण-1 के तर्क का पालन करते हुए, वे बहुत छोटी संख्या 909 प्राप्त करते हैं जिसका DADS 18 है (यह 11 का गुणज नहीं है)। 22 का DADS प्राप्त करने के लिए, संख्या 40909 होनी चाहिए।
3. यह एक बहुत ही दिलचस्प बदलाव है — ऊपर दिए गए चरणों के तर्क का पालन करते हुए, हम देखते हैं कि 409090 एक ऐसी संख्या है जिसका DADS -22 है। क्या यह सबसे छोटी संख्या है? स्पष्ट रूप से, यदि इकाई के स्थान के साथ एकान्‍तर स्थानों पर ग़ैर-शून्य (non-zero) अंक हैं, तो अन्य स्थानों के अंकों को बड़ा होना होगा ताकि अंतर -22 बना रहे। विद्यार्थी यह देख सकते हैं कि ऋणात्मक DADS वाली सबसे छोटी संख्या में अंकों की संख्या सम (even) होगी और धनात्मक DADS वाली सबसे छोटी संख्या में अंकों की संख्या विषम (odd) होगी। किसी विशेष DADS मान वाली सबसे छोटी संख्या को दर्ज करने वाली तालिका उन्हें यह अवलोकन करने में मदद करेगी।
4. आगे बढ़ते हुए, हम पूछ सकते हैं कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए \(11n\) DADS वाली सबसे छोटी संख्या के अंकों की संख्या क्या होगी। तर्क बिल्कुल पहले जैसा ही है। उदाहरण के लिए, DADS 55 वाली सबसे छोटी संख्या में इकाई अंक से शुरू होने वाले प्रत्येक एकान्‍तर स्थान पर छह 9 होने चाहिए और फिर सबसे आगे वाले अंक में 1 होना चाहिए (55 ÷9 = 6, शेषफल 1)। इसलिए, यह 13 अंकों की संख्या 1090909090909 होगी। अतः \(11n\) के DADS वाली सबसे छोटी संख्या का सामान्य सूत्र इस प्रकार होगा : यदि \(q\) और \(r\) ऐसी प्राकृत संख्याएँ हैं कि \(11n \ ÷ \ 9 = q\) और शेषफल \(r\) है (यानी \(r \lt 9\)), तो वह संख्या होगी :
   

   \( r \times 10^{2q} \ + \ 9 \times \left( 10^{2\left(q-1 \right)}\ + \ 10^{2\left (q-2 \right)}) \ + \ … \ + 1 \right)\).

   यह \(2q + 1\) अंकों वाली एक संख्या होगी। हम इसे DADS नियम (DADS Rule) कहते हैं!

5. सिद्ध करें कि यदि N, 11 का गुणज है, तो DADS भी 11 का गुणज होगा, और इसके विपरीत भी सही होगा :
   मान लें \((2n + 1)\) अंकों वाली कोई संख्या N है :

   \(a_{0} + 10a_{1} + 100a_{2} + … + 10^{2n} \times a_{2n}\)

   इसके एकान्‍तर अंकों का योग \(a_{0} + a_{2} + … + a_{2n}\) और \( a_{1} + a_{3} + … + a_{2n-1}\) है।
   इसलिए N के लिए DADS है :

   \(\left( a_{0}+ a_{2} +… + a_{2n} \right) \ – \left( a_{1}+ a_{3} +… + a_{2-1} \right)\)

   आइए N – DADS पर विचार करें जो कि है :

   \(a_{0} + 10a_{1} + 100a_{2} + … + 10^{2n}\times a_{2n} -\ [ \left( a_{0} + a_{2} + … + a_{2n} \right) \ – \left(a_{1} + a_{3} + … + a_{2n-1} \right)]\)\( = a_{0} + 10a_{1} + 100a_{2} + … + 10^{2n} \times a_{2n}\ – \left( a_{0} + a_{2} + … + a_{2n} \right)+\left(a_{1} + a_{3} + … + a_{2n-1} \right)\)\( = 11a_{1} + 99a_{2} + 1001a_{3} + 9999a_{4} + … + \left( 10^{2n-1} + 1 \right)a_{2n-1} + \left( 10^{2n} – 1 \right)a_{2n}\)\( = ∑^{n}_{k=1} [\left( 10^{2k-1} + 1 \right)a_{2k-1} + \left( 10^{2k} – 1 \right)a_{2k}]\)

अब \(10^{2k – 1} + 1 = \left( 10 + 1 \right) \left( 10^{2k-2} \ – \ 10^{2k – 3} + … + 1 \right) = 11b\)जहाँ \(b\) कोई प्राकृत संख्‍या है, यानी \(10^{2k – 1} + 1\) विभाज्‍य है 11 से। क्रमिक अपघटन (decomposition) के इस चरण को विद्यार्थियों के लिए समझना आसान हो सकता है यदि हम एक उदाहरण का उपयोग करें, जैसे कि…

जो 11 का गुणज है।

इस चरण से, विद्यार्थियों को सामान्यीकरण (generalise) करना आसान लग सकता है। वे यह भी जाँच कर सकते हैं कि क्या \(10^{n} + 1\) सभी \(n\) के लिए 11 का गुणज है या केवल विषम \(n\) के लिए।

इसी तरह \(10^{2k} \ – \ 1 = \left( 10^{2} \right)^{k} \ – \ 1 = 100^{k} \ -\ 1 = \left(100 – 1 \right) \left( 100 ^{k – 1} + … + 1\right) = 99c\) किसी प्राकृत संख्या c के लिए, \(10^{2k} \ – \ 1\) संख्या 99 से विभाज्य है और इसलिए 11 से भी विभाज्य है।

चूँकि N – DADS संख्या 11 से विभाज्य है, इसलिए या तो N और DADS दोनों 11 से विभाज्य होंगे या दोनों में से कोई भी नहीं होगा; अतः यदि DADS संख्या 11 का गुणज है, तो मूल संख्या N भी होगी, और यदि DADS नहीं है, तो N भी नहीं होगी।

निष्कर्ष

‘लो फ्लोर हाई सीलिंग’ गतिविधियों के लिए गणितीय जाँच-पड़ताल एकदम सटीक होती हैं। यहाँ हमने बताया है कि कैसे एक साधारण पैटर्न को पहचाना जा सकता है, उसकी जाँच-पड़ताल की जा सकती है, उसके साथ खेला जा सकता है और उसका सामान्यीकरण किया जा सकता है। यदि आपके विद्यार्थियों ने ‘DADS नियम’ (DADS Rule) का आनन्‍द लिया है, तो उन्हें अन्य संख्या पैटर्न के साथ भी इसी तरह की विधियों से प्रयास करने दें; हमें उम्मीद है कि वे इसमें माहिर हो जाएँगे!

अपने विद्यार्थियों के निष्कर्षों को ‘एट राइट एंगल्स’ (At Right Angles) के साथ साझा करना न भूलें।