{"id":25208,"date":"2026-06-13T14:30:03","date_gmt":"2026-06-13T09:00:03","guid":{"rendered":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/?p=25208"},"modified":"2026-06-13T14:30:03","modified_gmt":"2026-06-13T09:00:03","slug":"%e0%a4%85%e0%a4%b8%e0%a4%be%e0%a4%a8%e0%a5%8d%e0%a4%a4-%e0%a4%86%e0%a4%b5%e0%a4%b0%e0%a5%8d%e0%a4%a4%e0%a5%80-%e0%a4%a6%e0%a4%b6%e0%a4%ae%e0%a4%b2%e0%a4%b5%e0%a5%8b%e0%a4%82-%e0%a4%95","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/%e0%a4%85%e0%a4%b8%e0%a4%be%e0%a4%a8%e0%a5%8d%e0%a4%a4-%e0%a4%86%e0%a4%b5%e0%a4%b0%e0%a5%8d%e0%a4%a4%e0%a5%80-%e0%a4%a6%e0%a4%b6%e0%a4%ae%e0%a4%b2%e0%a4%b5%e0%a5%8b%e0%a4%82-%e0%a4%95\/","title":{"rendered":"\u0905\u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935\u094b\u0902 \u0915\u0940 \u0916\u094b\u091c-\u092c\u0940\u0928"},"content":{"rendered":"\n

\u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 \u0915\u094b \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e\u0913\u0902 \u092e\u0947\u0902 \u092c\u0926\u0932\u0928\u0947 \u0915\u0947 \u091f\u0949\u092a\u093f\u0915 \u0938\u0947 \u0939\u092e \u092c\u091a\u094d\u091a\u094b\u0902 \u0915\u094b \u092a\u0939\u0932\u0940 \u092c\u093e\u0930 \u0915\u0915\u094d\u0937\u093e-5 \u092f\u093e 6 \u092e\u0947\u0902 \u092a\u0930\u093f\u091a\u093f\u0924 \u0915\u0930\u093e\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964 \u0909\u0938 \u0938\u092e\u092f \u092c\u091a\u094d\u091a\u0947 \u092f\u0939 \u0927\u094d\u092f\u093e\u0928 \u0926\u0947\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902 \u0915\u093f \u0915\u0941\u091b \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0938\u092e\u093e\u092a\u094d\u0924 (terminate) \u0939\u094b \u091c\u093e\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902 \u0914\u0930 \u0915\u0941\u091b \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0939\u094b\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902, \u0914\u0930 \u0935\u0947 \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (terminating decimals)<\/em> \u0914\u0930 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (recurring decimals)<\/em> \u091c\u0948\u0938\u0947 \u0936\u092c\u094d\u0926\u094b\u0902 \u0938\u0947 \u092a\u0930\u093f\u091a\u093f\u0924 \u0939\u094b\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964 \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u092c\u093e\u0930 (bar) \u092f\u093e \u092c\u093f\u0928\u094d\u200d\u0926\u0941 (.) \u0938\u0902\u0915\u0947\u0924\u0928 (notation) \u0915\u093e \u0909\u092a\u092f\u094b\u0917 \u092d\u0940 \u092c\u0924\u093e\u092f\u093e \u091c\u093e\u0924\u093e \u0939\u0948\u0964 \u0906\u092e\u0924\u094c\u0930 \u092a\u0930 \u0905\u0927\u093f\u0915\u093e\u0902\u0936 \u092a\u093e\u0920\u094d\u092f\u092a\u0941\u0938\u094d\u0924\u0915\u0947\u0902 \u0907\u0938\u0915\u0947 \u0906\u0917\u0947 \u0928\u0939\u0940\u0902 \u092c\u0922\u093c\u0924\u0940 \u0939\u0948\u0902\u0964 \u092c\u093e\u0926 \u092e\u0947\u0902 (\u0915\u0915\u094d\u0937\u093e-8 \u092f\u093e 9 \u092e\u0947\u0902) \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e\u0913\u0902 \u0915\u093e \u092a\u0930\u093f\u092e\u0947\u092f\u0940\u0915\u0930\u0923 (rationalize) \u0915\u0930\u0928\u093e \u0938\u093f\u0916\u093e\u092f\u093e \u091c\u093e\u0924\u093e \u0939\u0948\u0964 \u092f\u0939\u093e\u0901 \u092e\u0948\u0902 \u091c\u093f\u0938 \u0917\u0924\u093f\u0935\u093f\u0927\u093f \u0915\u093e \u0935\u0930\u094d\u0923\u0928 \u0915\u0930 \u0930\u0939\u0940 \u0939\u0942\u0901, \u0935\u0939 \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u0915\u0915\u094d\u0937\u093e-8 \u0915\u0947 \u092c\u091a\u094d\u091a\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0938\u093e\u0925 \u0906\u091c\u093c\u092e\u093e\u0908 \u0939\u0948\u0964 \u092f\u0939 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u092a\u0948\u091f\u0930\u094d\u0928 \u092e\u0947\u0902 \u090f\u0915 \u0926\u093f\u0932\u091a\u0938\u094d\u092a \u091c\u093e\u0901\u091a (investigation) \u0938\u093e\u092c\u093f\u0924 \u0939\u0941\u0908, \u091c\u094b \u0938\u093e\u092e\u093e\u0928\u094d\u092f\u0940\u0915\u0930\u0923 (generalization) \u0915\u0940 \u0913\u0930 \u0932\u0947 \u0917\u0908 \u0914\u0930 \u0936\u0941\u0930\u0941\u0906\u0924 \u092e\u0947\u0902 \u090f\u0915 \u092a\u094d\u0930\u092f\u093e\u0938-\u0914\u0930-\u0924\u094d\u0930\u0941\u091f\u093f (trial and error) \u0926\u0943\u0937\u094d\u091f\u093f\u0915\u094b\u0923 \u0915\u0947 \u092e\u093e\u0927\u094d\u092f\u092e \u0938\u0947 \u0914\u0930 \u0909\u0938\u0915\u0947 \u092c\u093e\u0926 \u092a\u0930\u093f\u092e\u0947\u092f\u0940\u0915\u0930\u0923 \u0915\u0940 \u092a\u094d\u0930\u0915\u094d\u0930\u093f\u092f\u093e \u0924\u0915 \u092a\u0939\u0941\u0901\u091a\u0915\u0930 \u0909\u0932\u094d\u091f\u0940 \u092a\u094d\u0930\u0915\u094d\u0930\u093f\u092f\u093e \u0915\u094b \u0926\u0947\u0916\u0928\u0947 \u092e\u0947\u0902 \u092e\u0926\u0926\u0917\u093e\u0930 \u0930\u0939\u0940\u0964<\/p>\n\n

\u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u0938\u092c\u0938\u0947 \u092a\u0939\u0932\u0947 \u092c\u091a\u094d\u091a\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0938\u093e\u092e\u0928\u0947 \u090f\u0915 \u092a\u094d\u0930\u0936\u094d\u0928 \u0930\u0916\u093e, “\u0915\u094d\u092f\u093e \u0938\u092d\u0940 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 \u0938\u0947 \u092f\u093e \u0924\u094b \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u092e\u093f\u0932\u0947\u0902\u0917\u0947 \u092f\u093e \u0915\u093f\u0938\u0940 \u0928\u093f\u0936\u094d\u091a\u093f\u0924 \u0906\u0935\u0927\u093f\u0915\u0924\u093e (periodicity) \u0915\u0947 \u0905\u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935?” \u0935\u0947 \u0907\u0938\u0947 \u0932\u0947\u0915\u0930 \u092c\u0939\u0941\u0924 \u0906\u0936\u094d\u0935\u0938\u094d\u0924 \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0925\u0947\u0964 \u0915\u0941\u091b \u0928\u0947 \u0906\u0924\u094d\u092e\u0935\u093f\u0936\u094d\u0935\u093e\u0938 \u0938\u0947 \u2018’\u0939\u093e\u0901’\u2019 \u0915\u0939\u093e\u0964 \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u092c\u0926\u0932\u0947 \u092e\u0947\u0902 \u092a\u0942\u091b\u093e, “\u0915\u094d\u092f\u093e \u0906\u092a \u092f\u0939 \u0938\u093e\u092c\u093f\u0924 \u0915\u0930 \u0938\u0915\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902 \u0915\u093f \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u0915\u094d\u092f\u094b\u0902 \u092f\u093e \u0924\u094b \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0939\u094b\u0928\u093e \u091a\u093e\u0939\u093f\u090f \u092f\u093e \u0915\u093f\u0938\u0940 \u0906\u0935\u0927\u093f\u0915\u0924\u093e \u0915\u0947 \u0938\u093e\u0925 \u092c\u093e\u0930-\u092c\u093e\u0930 \u0906\u0928\u093e \u091a\u093e\u0939\u093f\u090f?” \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u0905\u092d\u0940 \u0924\u0915 \u0914\u092a\u091a\u093e\u0930\u093f\u0915 \u092a\u094d\u0930\u092e\u093e\u0923 (formal proof) \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0938\u093f\u0916\u093e\u092f\u093e \u0917\u092f\u093e \u0925\u093e\u0964 \u0907\u0938\u0932\u093f\u090f, \u092d\u0932\u0947 \u0939\u0940 \u0935\u0947 \u0938\u0939\u091c \u0930\u0942\u092a \u0938\u0947 \u0907\u0938\u0915\u093e \u0909\u0924\u094d\u0924\u0930 \u091c\u093e\u0928\u0924\u0947 \u0925\u0947, \u092b\u093f\u0930 \u092d\u0940 \u0909\u0928\u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f \u0907\u0938\u0947 \u0938\u094d\u092a\u0937\u094d\u091f \u0930\u0942\u092a \u0938\u0947 \u0935\u094d\u092f\u0915\u094d\u0924 \u0915\u0930\u0928\u093e \u0915\u0920\u093f\u0928 \u0925\u093e\u0964 \u0907\u0938\u0932\u093f\u090f \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u0909\u0928\u0938\u0947 \u0906\u0917\u0947 \u0915\u0947 \u092a\u094d\u0930\u0936\u094d\u0928 \u092a\u0942\u091b\u0947, “\u091c\u092c \u0906\u092a \u0915\u093f\u0938\u0940 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0915\u094b 5 \u0938\u0947 \u0935\u093f\u092d\u093e\u091c\u093f\u0924 \u0915\u0930\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902, \u0924\u094b \u0906\u092a\u0915\u094b \u0915\u094d\u092f\u093e \u0936\u0947\u0937\u092b\u0932 \u092e\u093f\u0932 \u0938\u0915\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902?” \u0909\u0928\u094d\u0939\u094b\u0902\u0928\u0947 \u0909\u0924\u094d\u0924\u0930 \u0926\u093f\u092f\u093e, “0, 1, 2, 3, 4\u0964” \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u0905\u0928\u094d\u092f \u092d\u093e\u091c\u0915\u094b\u0902 (divisors) \u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f \u092d\u0940 \u092f\u0939\u0940 \u092a\u094d\u0930\u0936\u094d\u0928 \u092a\u0942\u091b\u093e, \u0914\u0930 \u0915\u0941\u091b \u0939\u0940 \u0938\u092e\u092f \u092e\u0947\u0902 \u0909\u0928\u094d\u0939\u094b\u0902\u0928\u0947 \u0926\u0947\u0916 \u0932\u093f\u092f\u093e \u0915\u093f \u092f\u0926\u093f \u092d\u093e\u091c\u0915 n<\/em> \u0939\u0948, \u0924\u094b \u0915\u0947\u0935\u0932 n<\/em> \u0938\u092e\u094d\u200d\u092d\u093e\u0935\u093f\u0924 \u0936\u0947\u0937\u092b\u0932 (\u0936\u0942\u0928\u094d\u092f \u0938\u0939\u093f\u0924) \u0939\u094b\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902, \u0914\u0930 \u090f\u0915 \u092c\u093e\u0930 \u091c\u092c \u0935\u0939\u0940 \u0936\u0947\u0937\u092b\u0932 \u0926\u094b\u092c\u093e\u0930\u093e \u0906\u0924\u093e \u0939\u0948, \u0924\u094b \u092d\u093e\u0917\u092b\u0932 (quotient) \u0915\u093e \u092a\u0948\u091f\u0930\u094d\u0928 \u0909\u0938\u0940 \u092c\u093f\u0928\u094d\u200d\u0926\u0941 \u0938\u0947 \u0916\u0941\u0926 \u0915\u094b \u0926\u094b\u0939\u0930\u093e\u0928\u0947 \u0932\u0917\u0924\u093e \u0939\u0948\u0964<\/p>\n\n

\u092b\u093f\u0930 \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 2 \u0938\u0947 100 \u0924\u0915 \u0915\u0947 \u0939\u0930<\/strong> (denominators) \u0935\u093e\u0932\u0940 \u0938\u092d\u0940 \u0907\u0915\u093e\u0908 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 (unit fractions – \u092f\u093e\u0928\u0940 1\/n<\/em> \u0915\u0947 \u0930\u0942\u092a \u092e\u0947\u0902 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928, \u091c\u0939\u093e\u0901 n<\/em> \u090f\u0915 \u0927\u0928\u093e\u0924\u094d\u092e\u0915 \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923\u093e\u0902\u0915 \u0939\u0948) \u0915\u0947 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u092a\u094d\u0930\u0938\u093e\u0930 (decimal expansions) \u0916\u094b\u091c\u0928\u0947 \u0915\u093e \u0915\u093e\u092e \u0926\u093f\u092f\u093e\u0964 \u0915\u0915\u094d\u0937\u093e \u092e\u0947\u0902 \u092c\u0940\u0938 \u0935\u093f\u0926\u094d\u092f\u093e\u0930\u094d\u0925\u0940 \u0925\u0947, \u0914\u0930 \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0947\u0915 \u0928\u0947 \u090f\u0915 \u0918\u0923\u094d\u200d\u091f\u0947 \u0915\u0947 \u092d\u0940\u0924\u0930 \u0910\u0938\u0940 \u092a\u093e\u0901\u091a \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u092e\u093e\u0928 \u0915\u0940 \u0917\u0923\u0928\u093e \u0915\u0940\u0964 \u091c\u093f\u0928 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0939\u094b \u0917\u090f \u0925\u0947, \u0909\u0928\u0915\u0947 \u092e\u093e\u092e\u0932\u0947 \u092e\u0947\u0902 \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u092a\u0942\u0930\u093e \u0909\u0924\u094d\u0924\u0930 \u0932\u093f\u0916\u0928\u093e \u0925\u093e\u0964 \u091c\u093f\u0928 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0925\u0947, \u0909\u0928\u0915\u0947 \u092e\u093e\u092e\u0932\u0947 \u092e\u0947\u0902 \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u0909\u0938 \u092c\u093f\u0928\u094d\u200d\u0926\u0941 \u092a\u0930 \u0930\u0941\u0915\u0928\u093e \u0925\u093e \u091c\u0939\u093e\u0901 \u0905\u0902\u0915 \u0926\u0942\u0938\u0930\u0940 \u092c\u093e\u0930 \u0926\u094b\u0939\u0930\u093e\u090f \u091c\u093e\u0928\u0947 \u0936\u0941\u0930\u0942 \u0939\u0941\u090f \u0925\u0947\u0964 \u0939\u093e\u0932\u093e\u0901\u0915\u093f, \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u0909\u0928 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 \u0915\u094b \u091b\u094b\u0921\u093c\u0928\u0947 \u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f \u0915\u0939\u093e \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0915\u0947 \u0926\u0938\u0935\u0947\u0902 \u0938\u094d\u0925\u093e\u0928 \u0924\u0915 \u0926\u094b\u0939\u0930\u093e\u0935 \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0939\u0941\u0906 \u0925\u093e\u0964 (\u092c\u093e\u0926 \u092e\u0947\u0902, \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u0915\u092e\u094d\u200d\u092a\u094d\u092f\u0942\u091f\u0930 \u0926\u094d\u0935\u093e\u0930\u093e \u0924\u0948\u092f\u093e\u0930 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e \u092a\u094d\u0930\u0926\u093e\u0928 \u0915\u093f\u090f\u0964) \u091c\u0948\u0938\u0947-\u091c\u0948\u0938\u0947 \u0909\u0928\u094d\u0939\u094b\u0902\u0928\u0947 \u092f\u0939 \u0915\u093f\u092f\u093e, \u0915\u0941\u091b \u092c\u091a\u094d\u091a\u094b\u0902 \u0928\u0947 \u0905\u092a\u0928\u0947 \u0909\u0924\u094d\u0924\u0930\u094b\u0902 \u092e\u0947\u0902 \u0915\u0941\u091b \u0926\u093f\u0932\u091a\u0938\u094d\u092a \u092a\u0948\u091f\u0930\u094d\u0928 \u0926\u0947\u0916\u0928\u0947 \u0936\u0941\u0930\u0942 \u0915\u0930 \u0926\u093f\u090f\u0964<\/p>\n\n

\u0907\u0938\u0915\u0947 \u092c\u093e\u0926 \u0939\u092e\u0928\u0947 \u091a\u093e\u0930\u094d\u091f \u092a\u0930 \u0938\u092d\u0940 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 \u0915\u094b \u0928\u093f\u092e\u094d\u0928\u0932\u093f\u0916\u093f\u0924 \u0938\u092e\u0942\u0939\u094b\u0902 \u092e\u0947\u0902 \u0935\u0930\u094d\u0917\u0940\u0915\u0943\u0924 \u0915\u0930\u0924\u0947 \u0939\u0941\u090f \u0938\u0902\u0915\u0932\u093f\u0924 \u0915\u093f\u092f\u093e\u0964 \u091c\u094b \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0939\u094b \u0917\u0908\u0902, \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u090f\u0915 \u0938\u093e\u0925 \u0938\u092e\u0942\u0939\u093f\u0924 \u0915\u093f\u092f\u093e \u0917\u092f\u093e; \u092b\u093f\u0930 \u0905\u0935\u0927\u093f 1 \u0935\u093e\u0932\u0940 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 (\u092f\u093e\u0928\u0940, \u091c\u0939\u093e\u0901 \u0926\u094b\u0939\u0930\u093e\u090f<\/em> \u091c\u093e\u0928\u0947 \u0935\u093e\u0932\u0947 \u092d\u093e\u0917 \u092f\u093e \u0906\u0935\u0943\u0924\u094d\u0924\u093f \u0916\u0923\u094d\u200d\u0921 \u092e\u0947\u0902 \u0915\u0947\u0935\u0932 \u090f\u0915 \u0905\u0902\u0915 \u0939\u0948) \u0915\u094b \u090f\u0915 \u0938\u093e\u0925 \u0938\u092e\u0942\u0939\u093f\u0924 \u0915\u093f\u092f\u093e \u0917\u092f\u093e; \u0907\u0938\u0915\u0947 \u092c\u093e\u0926 \u0905\u0935\u0927\u093f 2, \u0905\u0935\u0927\u093f 3, \u0905\u0935\u0927\u093f 4 \u0906\u0926\u093f \u0935\u093e\u0932\u0940 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0906\u0908\u0902\u0964 \u092f\u0939\u093e\u0901 \u0938\u0902\u0915\u094d\u0937\u0947\u092a \u092e\u0947\u0902 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e \u0926\u093f\u090f \u0917\u090f \u0939\u0948\u0902\u0964 \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0935\u093e\u0932\u0940 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u0964<\/strong> \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0935\u093e\u0932\u0940 \u0907\u0915\u093e\u0908 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0925\u0940\u0902 :<\/p>\n\n

\\(\\frac{1}{2},\\frac{1}{4},\\frac{1}{5},\\frac{1}{8},\\frac{1}{10},\\frac{1}{16},\\frac{1}{20},\\frac{1}{25},\\frac{1}{32},\\frac{1}{40},\\frac{1}{50},\\frac{1}{64},\\frac{1}{80},\\frac{1}{100}\\)<\/p>\n\n

\u0939\u0930\u094b\u0902<\/strong> (denominators) \u092a\u0930 \u0927\u094d\u092f\u093e\u0928 \u0926\u0947\u0902 :<\/p>\n\n

\\(2, 4, 5, 8, 10, 16, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100\\)<\/p>\n\n

\u092c\u091a\u094d\u091a\u094b\u0902 \u0928\u0947 \u0927\u094d\u092f\u093e\u0928 \u0926\u093f\u092f\u093e \u0915\u093f \u0907\u0938 \u0938\u0942\u091a\u0940 \u092e\u0947\u0902 2 \u0915\u0940 \u0938\u092d\u0940 \u0918\u093e\u0924\u0947\u0902 (\u092f\u093e\u0928\u0940, 2, 4, 8, 16, 32, 64) \u0936\u093e\u092e\u093f\u0932 \u0939\u0948\u0902 \u0914\u0930 \u090f\u0915 \u0905\u0928\u094d\u092f \u0938\u092e\u0942\u0939 5, 10, 20, 25, 40, 50, 80 \u0939\u0948 \u091c\u093f\u0938\u0947 5, 5 \u00d7 2, 5 \u00d7 4, 5\u00a0\u00d7 8, 25\u00a0\u00d7 2, 5\u00a0\u00d7 16, 52<\/sup> \u00d7 4 \u0915\u0947 \u0930\u0942\u092a \u092e\u0947\u0902 \u092b\u093f\u0930 \u0938\u0947 \u0932\u093f\u0916\u093e \u091c\u093e \u0938\u0915\u0924\u093e \u0939\u0948\u0964 \u0915\u0941\u091b \u091a\u0930\u094d\u091a\u093e \u0915\u0947 \u092c\u093e\u0926 \u0909\u0928\u094d\u0939\u094b\u0902\u0928\u0947 \u0907\u0938 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e \u0915\u093e \u0938\u093e\u092e\u093e\u0928\u094d\u092f\u0940\u0915\u0930\u0923 \u0915\u0930\u0924\u0947 \u0939\u0941\u090f \u0915\u0939\u093e \u0915\u093f \u0939\u0930<\/strong> 2n<\/em><\/sup>, \u092f\u093e 2 \u00a0\u00d7\u00a0 5n<\/em><\/sup>, \u092f\u093e 5 \u00a0\u00d7\u00a0 2n<\/em><\/sup> \u0915\u0947 \u0930\u0942\u092a \u092e\u0947\u0902 \u0939\u0948\u0902, \u091c\u0939\u093e\u0901 n<\/em> \u0927\u0928\u093e\u0924\u094d\u092e\u0915 \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923\u093e\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0938\u092e\u0941\u091a\u094d\u091a\u092f N \u0938\u0947 \u0938\u092e\u094d\u200d\u092c\u0928\u094d\u0927\u093f\u0924 \u0939\u0948\u0964 \u090a\u092a\u0930 \u0938\u0942\u091a\u0940\u092c\u0926\u094d\u0927 \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0947\u0915 \u0939\u0930<\/strong> \u0907\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0938\u0947 \u0915\u093f\u0938\u0940 \u090f\u0915 \u0930\u0942\u092a \u092e\u0947\u0902 \u0939\u0948\u0964<\/p>\n\n

\u0906\u0917\u0947 \u0938\u093e\u092e\u093e\u0928\u094d\u092f\u0940\u0915\u0930\u0923 \u0915\u0930\u0924\u0947 \u0939\u0941\u090f, \u0939\u092e \u0915\u0939 \u0938\u0915\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902 \u0915\u093f \u091c\u092c \u092d\u0940 \u0939\u0930<\/strong> \u0915\u093e \u0930\u0942\u092a 2a<\/em><\/sup> \u00d7\u00a05b<\/em><\/sup> \u0939\u094b\u0924\u093e \u0939\u0948, \u091c\u0939\u093e\u0901 a<\/em> \u0914\u0930 b<\/em> \u0917\u093c\u0948\u0930-\u090b\u0923\u093e\u0924\u094d\u092e\u0915 \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923\u093e\u0902\u0915 (non-negative integers) \u0939\u0948\u0902, \u0924\u094b \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u092a\u094d\u0930\u0938\u093e\u0930 \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0939\u094b \u091c\u093e\u0924\u093e \u0939\u0948\u0964<\/p>\n\n

\u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u0939\u093e\u0901 \u0906\u0935\u0943\u0924\u094d\u0924\u093f \u092d\u093e\u0917 (repetend) \u092e\u0947\u0902 \u090f\u0915 \u0905\u0902\u0915 \u0939\u0948<\/b>\u0964<\/strong> \u092f\u0939\u093e\u0901 \u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0926\u0940 \u0917\u0908 \u0939\u0948\u0902 \u091c\u093f\u0928\u0915\u0947 \u0906\u0935\u0943\u0924\u094d\u0924\u093f \u0916\u0923\u094d\u200d\u0921 \u092e\u0947\u0902 \u0915\u0947\u0935\u0932 \u090f\u0915 \u0905\u0902\u0915 \u0939\u0948 :<\/p>\n\n

\\(\\frac{1}{3},\\frac{1}{6},\\frac{1}{9},\\frac{1}{12},\\frac{1}{15},\\frac{1}{18},\\frac{1}{24},\\frac{1}{30},\\frac{1}{36},\\frac{1}{45},\\frac{1}{48},\\frac{1}{60},\\frac{1}{72},\\frac{1}{75},\\frac{1}{90},\\frac{1}{96}\\)<\/p>\n\n

\u092c\u091a\u094d\u091a\u094b\u0902 \u0928\u0947 \u091c\u0932\u094d\u0926\u0940 \u0939\u0940 \u0927\u094d\u092f\u093e\u0928 \u0926\u093f\u092f\u093e \u0915\u093f \u0939\u0930<\/strong> \u0915\u094d\u0930\u092e\u093f\u0915 (consecutive) \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0939\u0948\u0902 \u0914\u0930 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e\u0913\u0902 \u0915\u0947 \u0936\u0941\u0930\u0941\u0906\u0924\u0940 \u0938\u092e\u0942\u0939 \u0915\u0947 \u092c\u093e\u0926 \u0905\u0928\u094d\u200d\u0924\u0930\u093e\u0932 (gaps) \u0926\u093f\u0916\u093e\u0908 \u0926\u0947 \u0930\u0939\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964 \u0909\u0928\u094d\u0939\u094b\u0902\u0928\u0947 \u0939\u0930\u094b\u0902<\/strong> \u0915\u093e \u0917\u0941\u0923\u0928\u0916\u0923\u094d\u200d\u0921 (factorize) \u0907\u0938 \u0930\u0942\u092a \u092e\u0947\u0902 \u0915\u093f\u092f\u093e : 3\u00a0\u00d7 1, 3\u00a0\u00d7 2, 3\u00a0\u00d7 3, 3\u00a0\u00d7 4, 3\u00a0\u00d7 5, 3\u00a0\u00d7 6, 3\u00a0\u00d7 8, 3\u00a0\u00d7 10, 3\u00a0\u00d7 12, 3\u00a0\u00d7 15, 3\u00a0\u00d7 16, 3\u00a0\u00d7 20, 3\u00a0\u00d7 24, 3\u00a0\u00d7 25, 3\u00a0\u00d7 30, 3\u00a0\u00d7 32.<\/p>\n\n

\u0907\u0928 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e\u0913\u0902 \u0915\u094b \u0905\u092c \u090f\u0915 \u0910\u0938\u0947 \u0938\u092e\u0941\u091a\u094d\u091a\u092f \u0915\u0947 \u0930\u0942\u092a \u092e\u0947\u0902 \u0915\u094d\u0930\u092e\u092c\u0926\u094d\u0927 \u0915\u093f\u092f\u093e \u091c\u093e \u0938\u0915\u0924\u093e \u0939\u0948 \u091c\u093f\u0938\u092e\u0947\u0902 3 \u0917\u0941\u0923\u093e 2 \u0915\u0940 \u0918\u093e\u0924\u0947\u0902 (3\u00a0\u00d7 1, 3\u00a0\u00d7 2, 3\u00a0\u00d7 4, 3\u00a0\u00d7 8, 3\u00a0\u00d7 16, 3\u00a0\u00d7 32) \u0939\u094b\u0902, \u0926\u0942\u0938\u0930\u093e \u0938\u092e\u0941\u091a\u094d\u091a\u092f \u091c\u093f\u0938\u092e\u0947\u0902 2 \u0914\u0930 5 \u0915\u0947 \u0917\u0941\u0923\u091c\u094b\u0902 \u0915\u093e 3 \u0917\u0941\u0928\u093e (3 \u00d7 5, 3\u00a0\u00d7 10, 3\u00a0\u00d7 15, 3 \u00d7 20, 3\u00a0\u00d7 25, 3\u00a0\u00d7 30) \u0939\u093e\u0901 \u0914\u0930 \u0924\u0940\u0938\u0930\u093e \u0938\u092e\u0941\u091a\u094d\u091a\u092f \u091c\u093f\u0938\u092e\u0947\u0902 32<\/sup> \u0917\u0941\u0923\u093e 2 \u0915\u0940 \u0918\u093e\u0924\u0947\u0902 (3\u00a0\u00d7 3, 3\u00a0\u00d7 6 \u092f\u093e 3 \u00d7 3 \u00d7 2, 3\u00a0\u00d7 12 \u092f\u093e 32<\/sup> \u00d7 22<\/sup>, 3\u00a0\u00d7 24 \u091c\u094b \u0915\u093f 32<\/sup> \u00d7 23<\/sup> \u0939\u0948) \u0939\u094b\u0902; \u0905\u0927\u093f\u0915 \u0938\u093e\u092e\u093e\u0928\u094d\u092f \u0930\u0942\u092a \u0938\u0947, \u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0939\u0930<\/strong> \u0915\u093e \u0930\u0942\u092a 3\u00a0\u00d7 2n<\/em><\/sup>, 32<\/em><\/sup> \u00d7 2n<\/em><\/sup>, 3\u00a0\u00d7\u00a05n<\/em><\/sup> \u0939\u094b\u0924\u093e \u0939\u0948\u0964<\/p>\n\n

\u0938\u093e\u092e\u093e\u0928\u094d\u092f\u0940\u0915\u0930\u0923 \u0915\u0930\u0924\u0947 \u0939\u0941\u090f, \u0939\u092e \u0915\u0939 \u0938\u0915\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902 \u0915\u093f \u0935\u0947 \u0938\u092d\u0940 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0939\u0930<\/strong> \u0915\u093e \u0930\u0942\u092a 3\u00a0\u00d7 2a<\/em><\/sup> \u00d7\u00a05b<\/em><\/sup> \u0914\u0930 32<\/em><\/sup>\u00a0\u00d7\u00a02a<\/em><\/sup>\u00a0\u00d7\u00a05b<\/em><\/sup> \u0939\u094b\u0924\u093e \u0939\u0948, \u0935\u0947 1 \u0915\u0940 \u0905\u0935\u0927\u093f (period 1) \u0935\u093e\u0932\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e\u090f\u0901 \u0926\u0947\u0924\u0940 \u0939\u0948\u0902\u0964 \u090a\u092a\u0930 \u0938\u0942\u091a\u0940\u092c\u0926\u094d\u0927 \u092a\u094d\u0930\u0924\u094d\u092f\u0947\u0915 \u0939\u0930 \u0907\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0938\u0947 \u0939\u0940 \u0915\u093f\u0938\u0940 \u090f\u0915 \u0930\u0942\u092a \u092e\u0947\u0902 \u0939\u0948\u0964<\/p>\n\n

\u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u0939\u093e\u0901 \u0906\u0935\u0943\u0924\u094d\u0924\u093f \u092d\u093e\u0917 \u092e\u0947\u0902 \u0926\u094b \u0905\u0902\u0915 \u0939\u0948\u0902<\/b>\u0964<\/strong> \u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u0915\u0947 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e\u0938\u094d\u0935\u0930\u0942\u092a \u0926\u094b \u0926\u094b\u0939\u0930\u093e\u090f \u091c\u093e\u0928\u0947 \u0935\u093e\u0932\u0947 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 (\u0905\u0930\u094d\u0925\u093e\u0924 \u0905\u0935\u0927\u093f 2 – period 2) \u0935\u093e\u0932\u0947 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u092e\u093f\u0932\u0947, \u0935\u0947 \u0925\u0940\u0902 :<\/p>\n\n

\\(\\frac{1}{11},\\frac{1}{22},\\frac{1}{33},\\frac{1}{44},\\frac{1}{55},\\frac{1}{66},\\frac{1}{88},\\frac{1}{99}\\)<\/p>\n\n

\u091c\u092c \u0939\u092e\u0928\u0947 \u092a\u0939\u0932\u0940 \u092c\u093e\u0930 \u0907\u0938 \u0938\u0942\u091a\u0940 \u0915\u094b \u0926\u0947\u0916\u093e, \u0924\u094b \u0939\u092e\u0928\u0947 \u0928\u093f\u0937\u094d\u0915\u0930\u094d\u0937 \u0928\u093f\u0915\u093e\u0932\u093e \u0915\u093f \u0939\u0930<\/strong> \u0938\u092d\u0940 11 \u0915\u0947 \u0917\u0941\u0923\u091c \u0925\u0947, \u0932\u0947\u0915\u093f\u0928 \u092b\u093f\u0930 \u0939\u092e\u0928\u0947 \u0927\u094d\u092f\u093e\u0928 \u0926\u093f\u092f\u093e \u0915\u093f 77 \u0907\u0938 \u0938\u0942\u091a\u0940 \u092e\u0947\u0902 \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0939\u0948\u0964 \u0936\u0941\u0930\u0941\u0906\u0924 \u092e\u0947\u0902 \u092f\u0939 \u0939\u092e\u093e\u0930\u0947 \u0932\u093f\u090f \u0906\u0936\u094d\u091a\u0930\u094d\u092f\u091c\u0928\u0915 \u0925\u093e\u0964 \u0939\u092e \u0910\u0938\u093e \u0928 \u0939\u094b\u0928\u0947 \u0915\u093e \u0915\u093e\u0930\u0923 \u092c\u093e\u0926 \u092e\u0947\u0902 \u0939\u0940 \u0938\u092e\u091d \u092a\u093e\u090f \u091c\u092c \u0939\u092e\u0928\u0947 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924 6 \u0935\u093e\u0932\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 \u0915\u093e \u0905\u0927\u094d\u092f\u092f\u0928 \u0915\u093f\u092f\u093e\u0964<\/p>\n\n

\u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u0915\u0947 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u0924\u0940\u0928 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0939\u0948\u0902<\/b>\u0964<\/strong> \u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u0915\u0947 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e\u0938\u094d\u0935\u0930\u0942\u092a \u0924\u0940\u0928 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0935\u093e\u0932\u093e \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (\u092f\u093e\u0928\u0940, \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924 3 – period 3) \u092a\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0924 \u0939\u0941\u0906, \u0935\u0947 \u0925\u0940\u0902 :<\/p>\n\n

\\(\\frac{1}{27},\\frac{1}{37},\\frac{1}{54},\\frac{1}{74}\\)<\/p>\n\n

\u0939\u092e\u0928\u0947 \u0927\u094d\u092f\u093e\u0928 \u0926\u093f\u092f\u093e \u0915\u093f \u0939\u0930<\/strong> 27 \u0914\u0930 37 \u0915\u0947 \u0917\u0941\u0923\u091c \u0925\u0947; \u0939\u093e\u0932\u093e\u0901\u0915\u093f, 81 ‘\u0932\u093e\u092a\u0924\u093e’ \u0925\u093e\u0964<\/p>\n\n

\u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u091a\u093e\u0930 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964<\/strong> \u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u0915\u0947 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e\u0938\u094d\u0935\u0930\u0942\u092a \u091a\u093e\u0930 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0935\u093e\u0932\u093e \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (\u092f\u093e\u0928\u0940, \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924 4 – period 4) \u092a\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0924 \u0939\u0941\u0906, \u0935\u0947 \u0925\u0940\u0902 . . . : \u0915\u094b\u0908 \u0928\u0939\u0940\u0902! \u090f\u0915 \u0938\u0935\u093e\u0932 \u091c\u094b \u0938\u094d\u0935\u093e\u092d\u093e\u0935\u093f\u0915 \u0930\u0942\u092a \u0938\u0947 \u0939\u092e\u093e\u0930\u0947 \u0926\u093f\u092e\u093e\u0917\u093c \u092e\u0947\u0902 \u0906\u092f\u093e, \u0935\u0939 \u092f\u0939 \u0925\u093e : \u0915\u094d\u092f\u093e \u092f\u0939 \u0915\u0947\u0935\u0932 \u092a\u0939\u0932\u0940 100 \u0907\u0915\u093e\u0908 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 (unit fractions) \u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f \u0938\u091a \u0939\u0948, \u092f\u093e \u0939\u092e\u0947\u0936\u093e \u0910\u0938\u093e \u0939\u0940 \u0939\u094b\u0917\u093e? \u0914\u0930 \u0915\u094d\u092f\u093e \u0939\u092e \u0907\u0938\u0947 \u0915\u093f\u0938\u0940 \u092d\u0940 \u0924\u0930\u0939 \u0938\u0947 \u0938\u093e\u092c\u093f\u0924 \u0915\u0930 \u0938\u0915\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902?<\/p>\n\n

\u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u092a\u093e\u0901\u091a \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964<\/strong> \u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u0915\u0947 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e\u0938\u094d\u0935\u0930\u0942\u092a \u092a\u093e\u0901\u091a \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0935\u093e\u0932\u093e \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (\u092f\u093e\u0928\u0940, \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924 5 – period 5) \u092a\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0924 \u0939\u0941\u0906, \u0935\u0947 \u0925\u0940\u0902 :<\/p>\n\n

\\(\\frac{1}{41},\\frac{1}{82}\\)<\/p>\n\n

\u092f\u0939 \u0924\u0940\u0938\u0930\u0940 \u092c\u093e\u0930 \u0925\u093e \u091c\u092c \u0939\u092e\u0928\u0947 \u0938\u0942\u091a\u0940 \u092e\u0947\u0902 \u092a\u0939\u0932\u0947 \u0939\u0930<\/strong> \u0915\u0947 \u090f\u0915 \u0917\u0941\u0923\u091c \u0915\u094b \u0906\u0924\u0947 \u0939\u0941\u090f \u0926\u0947\u0916\u093e, \u0914\u0930 \u0907\u0938\u0928\u0947 \u0939\u092e\u0947\u0902 \u0907\u0938\u0915\u093e \u0915\u093e\u0930\u0923 \u0916\u094b\u091c\u0928\u0947 \u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f \u092a\u094d\u0930\u0947\u0930\u093f\u0924 \u0915\u093f\u092f\u093e\u0964<\/p>\n\n

\u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u091b\u0939 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964<\/strong> \u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u0915\u0947 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e\u0938\u094d\u0935\u0930\u0942\u092a \u091b\u0939 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0935\u093e\u0932\u093e \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (\u092f\u093e\u0928\u0940, \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924 6 – period 6) \u092a\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0924 \u0939\u0941\u0906, \u0909\u0928\u0915\u0940 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0915\u093e\u092b\u093c\u0940 \u0905\u0927\u093f\u0915 \u0925\u0940 :<\/p>\n\n

\\(\\frac{1}{7},\\frac{1}{13},\\frac{1}{14},\\frac{1}{21},\\frac{1}{26},\\frac{1}{28},\\frac{1}{35},\\frac{1}{39},\\frac{1}{42},\\frac{1}{52},\\frac{1}{56},\\frac{1}{63},\\frac{1}{65},\\frac{1}{70},\\frac{1}{77},\\frac{1}{78},\\frac{1}{84},\\frac{1}{91}\\)<\/p>\n\n

\u0939\u0930\u094b\u0902<\/strong> \u092e\u0947\u0902 7 \u0914\u0930 13 \u0915\u0947 \u0917\u0941\u0923\u091c \u0926\u0947\u0916\u0947 \u091c\u093e \u0938\u0915\u0924\u0947 \u0925\u0947, \u0932\u0947\u0915\u093f\u0928 \u092f\u0939 \u0926\u0947\u0916\u0928\u093e \u0926\u093f\u0932\u091a\u0938\u094d\u092a \u0925\u093e \u0915\u093f 49 \u092f\u093e 7\u00d77 \u0907\u0938 \u0938\u0942\u091a\u0940 \u092e\u0947\u0902 \u0926\u093f\u0916\u093e\u0908 \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0926\u0947\u0924\u093e \u0939\u0948\u0964 \u0939\u092e\u0928\u0947 \u0916\u093c\u0941\u0926 \u0938\u0947 \u092a\u0942\u091b\u093e \u0915\u093f \u0910\u0938\u093e \u0915\u094d\u092f\u094b\u0902 \u0939\u094b\u0928\u093e \u091a\u093e\u0939\u093f\u090f\u0964<\/p>\n\n

\u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u0938\u093e\u0924 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964<\/strong> \u0910\u0938\u0940 \u0915\u094b\u0908 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0925\u0940\u0964<\/p>\n\n

\u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u0906\u0920 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964<\/strong> \u0915\u0947\u0935\u0932 \u090f\u0915 \u0939\u0940 \u0910\u0938\u0940 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0925\u0940 \u091c\u093f\u0938\u0915\u0947 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e\u0938\u094d\u0935\u0930\u0942\u092a \u0906\u0920 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0935\u093e\u0932\u093e \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (\u092f\u093e\u0928\u0940, \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924 8 – period 8) \u092a\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0924 \u0939\u0941\u0906 : \\(\\frac{1}{73}\\).<\/p>\n\n

\u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u0928\u094c \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964<\/strong> \u0915\u0947\u0935\u0932 \u090f\u0915 \u0939\u0940 \u0910\u0938\u0940 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0925\u0940 \u091c\u093f\u0938\u0915\u0947 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e\u0938\u094d\u0935\u0930\u0942\u092a \u0928\u094c \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0935\u093e\u0932\u093e \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (\u092f\u093e\u0928\u0940, \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924 9 – period 9) \u092a\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0924 \u0939\u0941\u0906 : \\(\\frac{1}{81}\\).<\/p>\n\n

\u0935\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u0926\u0938 \u0905\u0902\u0915\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964<\/strong> \u0910\u0938\u0940 \u0915\u094b\u0908 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0925\u0940\u0964<\/p>\n\n

\u0926\u093f\u090f \u0917\u090f \u0905\u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (recurring decimal) \u0915\u0947 \u0905\u0928\u0941\u0930\u0942\u092a \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0916\u094b\u091c\u0928\u093e<\/h2>\n\n

\u090a\u092a\u0930 \u0926\u093f\u090f \u0917\u090f \u0905\u092d\u094d\u092f\u093e\u0938 \u0915\u0947 \u092c\u093e\u0926 \u092e\u0948\u0902 \u091a\u093e\u0939\u0924\u0940 \u0925\u0940 \u0915\u093f \u0935\u0947 \u0907\u0938 \u092a\u094d\u0930\u0915\u094d\u0930\u093f\u092f\u093e \u0915\u094b \u0909\u0932\u094d\u091f\u0947 \u0915\u094d\u0930\u092e \u092e\u0947\u0902 \u0926\u0947\u0916\u0947\u0902\u0964 \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u092f\u0939 \u0938\u0935\u093e\u0932 \u0930\u0916\u093e, \u201c\u0915\u094b\u0908 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0926\u093f\u090f \u091c\u093e\u0928\u0947 \u092a\u0930 \u0939\u092e \u0909\u0938\u0947 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u092e\u0947\u0902 \u0915\u0948\u0938\u0947 \u092c\u0926\u0932\u0947\u0902\u0917\u0947?\u201d \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0915\u094b\u0908 \u0915\u0920\u093f\u0928\u093e\u0908 \u092a\u0948\u0926\u093e \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0915\u0930\u0924\u0947 \u0915\u094d\u092f\u094b\u0902\u0915\u093f \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 10 \u0915\u0940 \u0909\u092a\u092f\u0941\u0915\u094d\u0924 \u0918\u093e\u0924\u094b\u0902 \u0938\u0947 \u0935\u093f\u092d\u093e\u091c\u093f\u0924 \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e\u0913\u0902 \u0915\u0947 \u0930\u0942\u092a \u092e\u0947\u0902 \u0932\u093f\u0916\u093e \u091c\u093e \u0938\u0915\u0924\u093e \u0939\u0948 \u0914\u0930 \u092b\u093f\u0930 \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u0938\u0930\u0932 \u0915\u093f\u092f\u093e \u091c\u093e \u0938\u0915\u0924\u093e \u0939\u0948 (\u091c\u0948\u0938\u0947, 0.034 = 34 \/ 1000 = 17 \/ 500)\u0964 \u0907\u0938\u0932\u093f\u090f \u0938\u0935\u093e\u0932 \u0938\u093f\u092e\u091f\u0915\u0930 \u0907\u0938 \u092a\u0930 \u0906 \u0917\u092f\u093e : \u0905\u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u0938\u093e\u0925 \u0915\u094d\u092f\u093e \u0915\u093f\u092f\u093e \u091c\u093e\u090f?<\/p>\n\n

\u0939\u092e\u0928\u0947 \u0907\u0938\u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f \u092a\u094d\u0930\u092f\u093e\u0938-\u0914\u0930-\u0924\u094d\u0930\u0941\u091f\u093f (trial-and-error) \u0915\u093e \u0924\u0930\u0940\u0915\u093c\u093e \u0905\u092a\u0928\u093e\u092f\u093e\u0964 \u0939\u092e\u0928\u0947 \u0905\u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 .027027027…. \u0932\u093f\u092f\u093e\u0964 \u0915\u094c\u0928-\u0938\u0940 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u092f\u0939 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0926\u0947\u0917\u0940? \u092c\u091a\u094d\u091a\u094b\u0902 \u0928\u0947 \u092a\u0939\u0932\u0947 1 \/ 2 (= .5) \u0914\u0930 1 \/ 4 (= .25) \u0915\u094b \u0926\u0947\u0916\u093e \u0914\u0930 \u092e\u0939\u0938\u0942\u0938 \u0915\u093f\u092f\u093e \u0915\u093f \u0939\u0930<\/strong> \u0915\u094b 4 \u0938\u0947 \u092c\u0921\u093c\u093e \u0939\u094b\u0928\u093e \u091a\u093e\u0939\u093f\u090f\u0964 \u092b\u093f\u0930 \u0909\u0928\u094d\u0939\u094b\u0902\u0928\u0947 1 \/ 10 (= .1) \u0914\u0930 1 \/ 20 (= .05) \u0915\u0947 \u0938\u093e\u0925 \u0915\u094b\u0936\u093f\u0936 \u0915\u0940 \u0914\u0930 \u0938\u092e\u091d\u093e \u0915\u093f \u0939\u0930<\/strong> \u0915\u094b 20 \u0938\u0947 \u092d\u0940 \u092c\u0921\u093c\u093e \u0939\u094b\u0928\u093e \u091a\u093e\u0939\u093f\u090f\u0964 \u0905\u092c \u0909\u0928\u094d\u0939\u094b\u0902\u0928\u0947 1 \/ 30 (= .0333…) \u0914\u0930 1 \/ 40 (= .025) \u0915\u0947 \u0938\u093e\u0925 \u092a\u094d\u0930\u092f\u093e\u0938 \u0915\u093f\u092f\u093e \u0914\u0930 \u091c\u093e\u0928\u093e \u0915\u093f \u092f\u0939 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 1 \/ 30 \u0914\u0930 1 \/ 40 \u0915\u0947 \u092c\u0940\u091a \u0938\u094d\u0925\u093f\u0924 \u0939\u0948\u0964 \u092b\u093f\u0930 \u0909\u0928\u094d\u0939\u094b\u0902\u0928\u0947 1 \/ 35 (= .02814… ) \u0915\u0940 \u0915\u094b\u0936\u093f\u0936 \u0915\u0940 \u0914\u0930 \u0907\u0938 \u0926\u093e\u092f\u0930\u0947 \u0915\u094b \u0914\u0930 \u091b\u094b\u091f\u093e \u0915\u0930\u0915\u0947 1 \/ 35 \u0938\u0947 1 \/ 40 \u0924\u0915 \u0932\u0947 \u0906\u090f\u0964 \u091c\u0932\u094d\u0926 \u0939\u0940 \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e \u092e\u093f\u0932 \u0917\u092f\u093e \u0915\u093f 1 \/ 37 = .027027. . ..<\/p>\n\n

\u0905\u092c \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 ‘\u092a\u0930\u093f\u092e\u0947\u092f\u0940\u0915\u0930\u0923’ (rationalization) \u0915\u0940 \u090f\u0915 \u0905\u0927\u093f\u0915 \u0935\u094d\u092f\u0935\u0938\u094d\u0925\u093f\u0924 \u092a\u094d\u0930\u0915\u094d\u0930\u093f\u092f\u093e \u0938\u0947 \u092a\u0930\u093f\u091a\u093f\u0924 \u0915\u0930\u093e\u0928\u093e \u0925\u093e\u0964 \u0939\u092e\u0928\u0947 \u090f\u0915 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0915\u094b 10 \u0915\u0940 \u0918\u093e\u0924\u094b\u0902 \u0938\u0947 \u0917\u0941\u0923\u093e \u0915\u0930\u0928\u0947 \u092a\u0930 \u092a\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0924 \u0939\u094b\u0928\u0947 \u0935\u093e\u0932\u0947 \u092a\u0930\u093f\u0923\u093e\u092e \u0915\u094b \u0926\u0947\u0916\u093e\u0964 \u0907\u0938\u0915\u0947 \u092c\u093e\u0926 \u0939\u092e\u0928\u0947 \u0935\u093f\u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935\u094b\u0902 \u0915\u094b \u092f\u0939 \u0924\u092f \u0915\u0930\u0928\u0947 \u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f \u0926\u0947\u0916\u093e \u0915\u093f \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 10 \u0915\u0940 \u0915\u093f\u0938 \u0918\u093e\u0924 \u0938\u0947 \u0917\u0941\u0923\u093e \u0915\u093f\u092f\u093e \u091c\u093e\u0928\u093e \u091a\u093e\u0939\u093f\u090f \u0924\u093e\u0915\u093f \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 (recurring part) \u0915\u094b \u092a\u0942\u0930\u094d\u0923 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0915\u0947 \u0938\u094d\u0925\u093e\u0928 \u092a\u0930 \u0932\u093e\u092f\u093e \u091c\u093e \u0938\u0915\u0947\u0964 (\u0909\u0926\u093e\u0939\u0930\u0923 \u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f, .027027… \u0915\u094b 27.027027… \u092e\u0947\u0902 \u092c\u0926\u0932\u0928\u0947 \u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f 1000 \u0938\u0947 \u0917\u0941\u0923\u093e \u0915\u0930\u0928\u0947 \u0915\u0940 \u0906\u0935\u0936\u094d\u092f\u0915\u0924\u093e \u0939\u0948, \u091c\u093f\u0938\u0915\u093e \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u092e\u0942\u0932 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0915\u0947 \u092c\u093f\u0932\u094d\u0915\u0941\u0932 \u0938\u092e\u093e\u0928 \u0939\u0948)\u0964 \u092b\u093f\u0930 \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u0909\u0928\u0938\u0947 \u092a\u0942\u091b\u093e \u0915\u093f \u0907\u0938 \u0928\u0908 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0914\u0930 \u092e\u0942\u0932 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0915\u093e \u0909\u092a\u092f\u094b\u0917 \u0915\u0930\u0915\u0947 \u0915\u094c\u0928-\u0938\u0940 \u0938\u0902\u0915\u094d\u0930\u093f\u092f\u093e \u0915\u0940 \u091c\u093e \u0938\u0915\u0924\u0940 \u0939\u0948 \u091c\u093f\u0938\u0938\u0947 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u092d\u093e\u0917 \u0938\u092e\u093e\u092a\u094d\u0924 (eliminate) \u0939\u094b \u091c\u093e\u090f\u0964 \u091c\u0932\u094d\u0926 \u0939\u0940 \u0909\u0928\u094d\u0939\u094b\u0902\u0928\u0947 \u0926\u0947\u0916 \u0932\u093f\u092f\u093e \u0915\u093f \u0928\u0908 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u092e\u0947\u0902 \u0938\u0947 \u092e\u0942\u0932 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0915\u094b \u0918\u091f\u093e\u0928\u0947 \u092a\u0930 \u0909\u0924\u094d\u0924\u0930 27 \u092e\u093f\u0932\u0947\u0917\u093e\u0964 \u0905\u092c \u092e\u0948\u0902\u0928\u0947 \u0909\u0928\u094d\u0939\u0947\u0902 \u092e\u0942\u0932 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e \u0915\u094b x<\/em> \u092e\u093e\u0928\u0928\u0947 \u0914\u0930 1000x<\/em> \u092e\u0947\u0902 \u0938\u0947 x<\/em> \u0915\u094b \u0918\u091f\u093e\u0915\u0930 999x<\/em> \u092a\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0924 \u0915\u0930\u0928\u0947 \u0915\u0940 \u092a\u094d\u0930\u0915\u094d\u0930\u093f\u092f\u093e \u0938\u0947 \u092a\u0930\u093f\u091a\u093f\u0924 \u0915\u0930\u093e\u092f\u093e, \u091c\u094b \u0915\u093f 27 \u0915\u0947 \u092c\u0930\u093e\u092c\u0930 \u0939\u094b\u0928\u093e \u091a\u093e\u0939\u093f\u090f\u0964 \u0907\u0938\u0938\u0947 \u0939\u092e\u0928\u0947 \u0928\u093f\u0937\u094d\u0915\u0930\u094d\u0937 \u0928\u093f\u0915\u093e\u0932\u093e \u0915\u093f x<\/em> = 27 \/ 999, \u091c\u093f\u0938\u0947 \u0938\u0930\u0932 \u0915\u0930\u0928\u0947 \u092a\u0930 1 \/ 37 \u092a\u094d\u0930\u093e\u092a\u094d\u0924 \u0939\u094b\u0924\u093e \u0939\u0948\u0964<\/p>\n\n

\u0907\u0938 \u092a\u0942\u0930\u0947 \u0905\u092d\u094d\u092f\u093e\u0938 \u092e\u0947\u0902 \u0939\u092e\u0947\u0902 \u0924\u0940\u0928 \u092a\u0940\u0930\u093f\u092f\u0921 \u0932\u0917\u0947 (\u0915\u0941\u091b \u0917\u0923\u0928\u093e\u090f\u0901 \u0917\u0943\u0939\u0915\u093e\u0930\u094d\u092f \u0915\u0947 \u0930\u0942\u092a \u092e\u0947\u0902 \u0926\u0940 \u0917\u0908 \u0925\u0940\u0902)\u0964 \u0939\u092e\u0947\u0902 \u0915\u0908 \u0926\u093f\u0932\u091a\u0938\u094d\u092a \u092a\u0948\u091f\u0930\u094d\u0928 \u092e\u093f\u0932\u0947; \u0909\u0926\u093e\u0939\u0930\u0923 \u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f, 1 \/ 81 = 0.012345679 012345679… , \u0914\u0930 \u0939\u092e \u0926\u0947\u0916\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902 \u0915\u093f \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0905\u0902\u0915 (repetend) \u092e\u0947\u0902 \u0938\u0947 8 \u0917\u093e\u092f\u092c \u0939\u0948\u0964 \u0907\u0938\u0928\u0947 \u0915\u0908 \u0938\u0935\u093e\u0932 \u092d\u0940 \u0916\u0921\u093c\u0947 \u0915\u093f\u090f, \u091c\u093f\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0938\u0947 \u0938\u092d\u0940 \u0915\u093e \u091c\u0935\u093e\u092c \u0939\u092e \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0926\u0947 \u0938\u0915\u0947\u0964 \u0909\u0926\u093e\u0939\u0930\u0923 \u0915\u0947 \u0932\u093f\u090f, \u0939\u092e\u0947\u0902 1 \/ 2 \u0938\u0947 1 \/ 100 \u0924\u0915 \u0915\u0947 \u0907\u0915\u093e\u0908 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 (unit fractions) \u092e\u0947\u0902 \u0910\u0938\u0940 \u0915\u094b\u0908 \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0915\u094d\u092f\u094b\u0902 \u0928\u0939\u0940\u0902 \u092e\u093f\u0932\u0940\u0902 \u091c\u094b \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924 4, 7 \u092f\u093e 10 \u0935\u093e\u0932\u0947 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0926\u0947\u0924\u0940 \u0939\u094b\u0902? \u092f\u0926\u093f \u0939\u092e \u0905\u092a\u0928\u0947 \u0926\u093e\u092f\u0930\u0947 \u0915\u094b \u092c\u0922\u093c\u093e\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902 \u0924\u094b \u0915\u094d\u092f\u093e \u092f\u0939 \u092c\u093e\u0924 \u0938\u091a \u092c\u0928\u0940 \u0930\u0939\u0947\u0917\u0940? \u0914\u0930 \u0915\u094d\u092f\u093e \u0915\u094b\u0908 \u0910\u0938\u093e \u0924\u0930\u0940\u0915\u093c\u093e \u0939\u0948 \u091c\u093f\u0938\u0938\u0947 \u0939\u092e \u0907\u0938\u0947 \u0928\u093f\u0930\u094d\u0923\u093e\u092f\u0915 \u0930\u0942\u092a \u0938\u0947 \u0938\u093e\u092c\u093f\u0924 \u0915\u0930 \u0938\u0915\u0947\u0902?<\/p>\n\n

\u0936\u093e\u092f\u0926 \u0915\u093f\u0938\u0940 \u0926\u093f\u0928 \u0939\u092e\u0947\u0902 \u0907\u0928\u092e\u0947\u0902 \u0938\u0947 \u0915\u0941\u091b \u0938\u0935\u093e\u0932\u094b\u0902 \u0915\u0947 \u091c\u0935\u093e\u092c \u092e\u093f\u0932 \u091c\u093e\u090f\u0901\u0917\u0947!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u092d\u093f\u0928\u094d\u0928\u094b\u0902 \u0915\u094b \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 \u0938\u0902\u0916\u094d\u092f\u093e\u0913\u0902 \u092e\u0947\u0902 \u092c\u0926\u0932\u0928\u0947 \u0915\u0947 \u091f\u0949\u092a\u093f\u0915 \u0938\u0947 \u0939\u092e \u092c\u091a\u094d\u091a\u094b\u0902 \u0915\u094b \u092a\u0939\u0932\u0940 \u092c\u093e\u0930 \u0915\u0915\u094d\u0937\u093e-5 \u092f\u093e 6 \u092e\u0947\u0902 \u092a\u0930\u093f\u091a\u093f\u0924 \u0915\u0930\u093e\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902\u0964 \u0909\u0938 \u0938\u092e\u092f \u092c\u091a\u094d\u091a\u0947 \u092f\u0939 \u0927\u094d\u092f\u093e\u0928 \u0926\u0947\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902 \u0915\u093f \u0915\u0941\u091b \u092d\u093f\u0928\u094d\u0928 \u0938\u092e\u093e\u092a\u094d\u0924 (terminate) \u0939\u094b \u091c\u093e\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902 \u0914\u0930 \u0915\u0941\u091b \u0928\u0939\u0940\u0902 \u0939\u094b\u0924\u0947 \u0939\u0948\u0902, \u0914\u0930 \u0935\u0947 \u0938\u093e\u0928\u094d\u200d\u0924 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (terminating decimals) \u0914\u0930 \u0906\u0935\u0930\u094d\u0924\u0940 \u0926\u0936\u092e\u0932\u0935 (recurring decimals) \u091c\u0948\u0938\u0947 \u0936\u092c\u094d\u0926\u094b\u0902 \u0938\u0947 […]<\/p>\n","protected":false},"author":19,"featured_media":25102,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[239],"tags":[1126,1164,487,555,1166,1165],"stage-class":[1009,1008],"magazine_category":[303],"class_list":["post-25208","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category---hi","tag-fractions","tag-1164","tag-487","tag-555","tag-1166","tag-1165","stage-class-preparatory-class-3-5-hi","stage-class-middle-class-6-8-hi","magazine_category-issue-5-november-2013-hi"],"acf":[],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/rec-dec-tn.png","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/25208","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/users\/19"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=25208"}],"version-history":[{"count":25,"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/25208\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":25264,"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/25208\/revisions\/25264"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/media\/25102"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=25208"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=25208"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=25208"},{"taxonomy":"stage-class","embeddable":true,"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/stage-class?post=25208"},{"taxonomy":"magazine_category","embeddable":true,"href":"https:\/\/atrightangles.azimpremjiuniversity.edu.in\/hi\/wp-json\/wp\/v2\/magazine_category?post=25208"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}